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点集拓扑试卷及答案

一、单项选择题（总共10题，每题2分）

1.在点集拓扑中，开集的定义是（B）。

A.任何两个点都可以通过开集连接

B.对于集合中的任意一点，都存在一个邻域完全包含在集合内

C.集合中的点都是孤立点

D.集合中的点与边界点不重合

2.下列哪个不是拓扑空间的性质？（C）

A.拓扑空间是封闭的

B.拓扑空间包含空集和全集

C.拓扑空间的并集和交集运算不满足分配律

D.拓扑空间的子空间仍然是拓扑空间

3.在拓扑空间中，紧致性的等价定义不包括（D）。

A.每个开覆盖都有一个有限子覆盖

B.每个序列都有一个收敛的子序列

C.集合是闭且有界的

D.集合中的点都是孤立点

4.下列哪个是度量空间的例子？（A）

A.欧几里得空间R^n

B.不可数无限集

C.空集

D.有限集

5.在拓扑学中，连续映射的定义是（B）。

A.映射的像集是原像集的子集

B.对于任意开集，其逆像也是开集

C.映射的像集与原像集相同

D.映射是可逆的

6.下列哪个不是紧致空间的性质？（C）

A.紧致空间是闭的

B.紧致空间是完备的

C.紧致空间的子集仍然是紧致空间

D.紧致空间在有限维欧几里得空间中是可数的

7.在拓扑空间中，连通性的定义是（A）。

A.不能被分成两个非空开集的交集

B.每个点都是孤立点

C.集合是闭且有界的

D.集合中的点与边界点不重合

8.下列哪个是度量空间的紧致性定理的例子？（B）

A.欧几里得空间R^n中的有界闭集

B.闭区间[0,1]在R上

C.开区间(0,1)在R上

D.无限集

9.在拓扑学中，同胚的定义是（D）。

A.两个拓扑空间有相同的开集

B.两个拓扑空间有相同的紧致性

C.两个拓扑空间有相同的连通性

D.两个拓扑空间之间存在一个双射且双方连续的映射

10.下列哪个不是拓扑空间的子空间？（C）

A.拓扑空间的一个真子集

B.拓扑空间的一个子集，赋予相同的拓扑

C.拓扑空间的一个子集，赋予不同的拓扑

D.拓扑空间本身

二、多项选择题（总共10题，每题2分）

1.下列哪些是拓扑空间的性质？（ABCD）

A.拓扑空间是封闭的

B.拓扑空间包含空集和全集

C.拓扑空间的并集和交集运算满足分配律

D.拓扑空间的子空间仍然是拓扑空间

2.下列哪些是紧致空间的等价定义？（ABCD）

A.每个开覆盖都有一个有限子覆盖

B.每个序列都有一个收敛的子序列

C.集合是闭且有界的

D.集合中的点都是孤立点

3.下列哪些是度量空间的例子？（AB）

A.欧几里得空间R^n

B.不可数无限集

C.空集

D.有限集

4.下列哪些是连续映射的性质？（ABCD）

A.对于任意开集，其逆像也是开集

B.映射的像集是原像集的子集

C.映射是可逆的

D.映射的像集与原像集相同

5.下列哪些是拓扑学中同胚的性质？（ABCD）

A.两个拓扑空间之间存在一个双射且双方连续的映射

B.两个拓扑空间有相同的开集

C.两个拓扑空间有相同的紧致性

D.两个拓扑空间有相同的连通性

6.下列哪些是拓扑空间的子空间？（ABCD）

A.拓扑空间的一个真子集

B.拓扑空间的一个子集，赋予相同的拓扑

C.拓扑空间的一个子集，赋予不同的拓扑

D.拓扑空间本身

7.下列哪些是度量空间的紧致性定理的例子？（ABCD）

A.欧几里得空间R^n中的有界闭集

B.闭区间[0,1]在R上

C.开区间(0,1)在R上

D.无限集

8.下列哪些是拓扑学中连通性的定义？（ABCD）

A.不能被分成两个非空开集的交集

B.每个点都是孤立点

C.集合是闭且有界的

D.集合中的点与边界点不重合

9.下列哪些是拓扑空间的性质？（ABCD）

A.拓扑空间是封闭的

B.拓扑空间包含空集和全集

C.拓扑空间的并集和交集运算满足分配律

D.拓扑空间的子空间仍然是拓扑空间

10.下列哪些是紧致空间的性质？（ABCD）

A.紧致空间是闭的

B.紧致空间是完备的

C.紧致空间的子集仍然是紧致空间

D.紧致空间在有限维欧几里得空间中是可数的

三、判断题（总共10题，每题2分）

1.在拓扑空间中，开集的定义是对于集合中的任意一点，都存在一个邻域完全包含在集合内。（正确）

2.拓扑空间的并集和交集运算满足分配律。（正确）

3.紧致性的等价定义包括每个序列都有一个收敛的子序列。（正确）

4.度量空间是拓扑空间的一种特殊情况。（正确）

5.连续映射的定义是对于任意开集，其逆像也是开集。（正确）

6.紧致空间在有限维欧几里得空间中是可数的。（正确）

7.拓扑学中同胚的定义是两个拓扑空间之间存在一个双射且双方连续的映射。（正确）