专题10 相似三角形的经典模型（10大题型）（原卷版）.docxVIP

专题10相似三角形的经典模型（10大题型）

【题型目录】

题型一A字型相似

题型二8字型相似

题型三AX型相似

题型四母子型相似

题型五三角形内接矩形相似

题型六射影定理相似

题型七旋转相似

题型八k字型相似

题型九折叠相似

题型十动态相似

【经典例题一A字型相似】

【模型解读】

①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，．

②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：；

③模型拓展2：如图，∠ACD＝∠B?△ADC∽△ACB?．

1．（2022·江苏无锡·统考模拟预测）如图，中，，，，点在内，且平分，平分，过点作直线，分别交、于点、，若与相似，则线段的长为（????）

A．5 B． C．5或 D．6

2．（2022·湖北武汉·统考一模）如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝．

3．（2022·上海浦东新·统考三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．

(1)求线段DE的长；

(2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．

4．（2022上·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考阶段练习）中，，，于，点在线段上，点在射线上，连接，，满足．

(1)如图1，若，，求的长；

(2)如图2，若，求证：；

(3)如图3，将绕点逆时针旋转得到，连接，点为的中点，连接，若，．当最小时，直接写出的面积．

【经典例题二8字型相似】

【模型解读】

①如图1，AB∥CD?△AOB∽△COD?；

②如图2，∠A＝∠D?△AOB∽△DOC?．

③模型拓展：如图，∠A＝∠C?△AJB∽△CJD?．

1．（2022·山东聊城·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（）

A． B． C． D．

2．（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）如图，在中，点D在BC上，，连接AD，，则线段AD的长为．

??

3．（2023·江苏南通·统考一模）正方形中，，点是对角线上的一动点，将沿翻折得到，直线交射线于点．

(1)当时，求的度数用含的式子表示；

(2)点在运动过程中，试探究的值是否发生变化？若不变，求出它的值若变化，请说明理由；

(3)若，求的值．

4．（2023下·山东济南·九年级校联考期中）如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为．

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图1，连接，交线段于点，若，求的值．

(3)如图2，已知抛物线的对称轴交轴于点，与直线，分别交于、两点．试问是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

【经典例题三AX型相似】

【模型解读】

A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.

1、（2022·河南新乡·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（）

A． B． C． D．

2、（2022·河北石家庄·九年级期末）已知中，，（如图）．以线段为边向外作等边三角形，点是线段的中点，连接并延长交线段于点．

（1）求证：四边形为平行四边形；

（2）连接，交于点．

①若，求的长；

②作，垂足为，求证：．

3、（2022·河南·鹤壁市淇滨中学九年级期中）已知，平行四边形中，点是的中点，在直线上截取，连接，交于，则___________．

4、（2022·湖南株洲·九年级期末）如图（1）所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1．

（1）请你探究：，是否都成立？

（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断．

（3）如图（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90?，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于点E，试求的值．

【经典例题四母子型相似】

【模型解读】

如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．．

如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型．

当时，，则有．

1．（2022·江苏南通·统考一模）如图，中，，，，点，分别在，上，，．把绕点旋转，得到，点落在线段上．若点在的平分线上，则的长为（????）

A． B． C． D．

2．（2022上·北京海淀·九年级北京市师达中学校考阶段练习）如图，中，点在边上，且，若，，则的长为．

3．（2022下·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）定义：如图，