14.3 角的平分线 解析版.docxVIP

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14.3角的平分线

【考点归纳】

【知识梳理】

知识点一：角平分线

AD是角平分线

∠BAD＝∠CAD＝12∠

(1)三角形三条内角平分线的交点为三角形的内心；

(2)内心到三角形三边距离相等

知识点二：角平分线的辅助线类型

类型1过角平分线上的点作一边的垂线

原理：1.角平分线上一点到角两边的距离相等；

2.两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等.

作法：如图，过点P作PB⊥ON于点B.

结论：AP＝BP；Rt△AOP≌Rt△BOP

类型二过角平分线上的点作角平分线的垂线

原理：1.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等；

2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)

作法：如图，过点P作PB⊥OP，交ON于点B.

结论：△OAB是等腰三角形

类型三1.过角平分线上的点作边的平行线；

2.过边上的点作角平分线的平行线

原理：(1)两直线平行，内错角相等；

(2)两直线平行，同位角相等；

(3)等角对等边.

作法：(1)过点P作PQ∥ON，交OM于点Q；

(2)过点P作PQ∥OB，交NO的延长线于点Q.

结论：△OPQ为等腰三角形

类型四1.在被平分的角的长边上截取与短边相等的线段；

2.延长被平分的角的短边至与长边相等

原理：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.

作法一：截长法

在AC上截取AE＝AB，连接DE，

结论：△ABD≌△AED；

作法二：补短法

延长AB至点F，使AF＝AC，连接DF，

结论：△AFD≌△ACD

【题型探究】

题型一：角平分线的性质定理

【例1】．（25-26八年级上·全国）如图，是的角平分线，于点，的面积是10，若，则点到的距离是（）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．

【详解】解：作于，

∵是中的角平分线，，，

∴，

∵的面积是10，若，

∴，

∴，

∴，即点到的距离是4，

故选：C．

【跟踪训练1】．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯）如图，在中，，平分，交于点D，若，则点D到的距离为（??）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据角的平分线性质定理解答即可．

本题考查了角的平分线性质定理，熟练掌握定理是解题的关键．

【详解】解：，平分，交于点D，

根据角平分线上的点到角两边的距离相等，为点D到的距离，

故点D到的距离也为．

故选：B．

【跟踪训练2】．（25-26八年级上·广东广州·阶段练习）如图，为的角平分线，于点，，则的长不可能是（??????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作于点，根据角平分线的性质，可知，再根据垂线段最短，可知，从而得出答案．

【详解】解：过点作于点，如图所示：

为的角平分线，于点，，

，

，

，

的长度不可能为1，

故选：D．

题型二：角平分线的判定定理

【例2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，垂足分别为，．求证：平分．

【答案】见解析

【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，全等三角形的性质和判定，

先根据“斜边直角边”证明，可得，再根据角平分线的判定定理得出答案.

【详解】证明：，

．

在和中，

，

．

，

∴平分．

【跟踪训练1】．（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在四边形中，，为的中点，平分．

(1)求证：平分；

(2)求证：．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查角平分线的判定和性质，全等三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．

（1）作，垂足为，根据角平分线的性质定理以及判定定理即可证明．

（2）证明得，同理可证，则题目可证．

【详解】（1）证明：作，垂足为，

平分，，，

，

，

，

，，

平分；

（2）证明：由（1）可知：，

在和中，

，

，

，同理可证：

，即．

【跟踪训练2】．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，、两点分别在射线、上，点在的内部，且，，，垂足分别为，，且．

(1)求证：平分；

(2)若，，求的长．

【答案】(1)证明过程见解析；

(2)的长为．

【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的判定．

（1）证明，可得，结合已知即可证得结论；

（2）由，可得，从而可得，证明，可得，从而可得的长．

【详解】（1）证明：∵，，

∴，，

在和中，

，

∴，

∴，

又∵，，

∴平分．

（2）解：由（1）得，

∴，

∵，，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∴，

∴的长为．

题型三：作角平分线（尺规作图）

【例