（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末复习训练 拓展二：异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角问题（精讲）（原卷版）.docxVIP

拓展二：异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角问题

目录

题型一：异面直线所成角

题型二：直线与平面所成角

角度1：定义法

角度2：等体积法

题型三：二面角

角度1：定义法

角度2：三垂线法

角度3：垂面法

角度4：射影面积法

题型一：异面直线所成角

知识点归纳

平移使相交

具体操作，通过平移一条（或2条），使异面直线转化为相交直线，然后在三角形中利用余弦定理求角

典型例题

例题1．在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，则异面直线与直线所成角的正弦值为（????）

A． B． C． D．

例题2．如图，在直三棱柱中，若，，，则异面直线与所成的角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

例题3．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______．

同类题型演练

1．在正方体中，E、F分别是、的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

2．如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成的角为（????）

A． B． C． D．

3．已知长方体中，，点为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为__________.

4．在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是_____________.

题型二：直线与平面所成角

角度1：定义法

知识点归纳

直线与平面所成角定义：平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线与平面所成角的范围为；具体操作方法：

①在直线上任取一点（通常都是取特殊点），向平面引（通常都是找+证明）垂线；

②连接斜足与垂足；

③则斜线与射影所成的角，就是直线与平面所成角.

典型例题

例题1．已知在长方体中，，，那么直线与平面所成角的正弦值为（????）

A． B． C． D．

例题2．如图，在正三棱柱中，，，点D是侧棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（????）

A． B． C． D．

例题3．在矩形ABCD中，，点为的中点（如图1），沿将△折起到处，使得平面平面（如图2），则直线与平面所成角的正切值为___________.

例题4．如图，四边形中，，，.将四边形沿对角线折成四面体，使平面⊥平面，则与平面所成的角的正弦值为___________.

角度2：等体积法

知识点归纳

①如右图：利用等体积法求垂线段的长；②

典型例题

例题1．如图，在三棱台中，平面，，，，则与平面所成的角为（????）

A． B． C． D．

例题2．如图，在四面体中，，，为的中点，为上一点.

(1)求证：平面平面；

(2)若，，，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.

题型二同类题型演练

1．在三棱锥A—BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BC，且，则直线AB与平面ACD所成的角为（????）

A． B． C． D．

2．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．已知在阳马P-ABCD中，侧棱底面ABCD，且，则直线PD与平面PAC所成角的正弦值等于（????）

A． B． C． D．

3．已知正方体的棱长为1，点P在线段上，且，则AP与平面ABCD所成角的正切值为（????）

A．1 B． C． D．

4．在四棱锥中，⊥平面，，，．

(1)证明：平面；

(2)若，求与平面所成角的正弦值．

5．如图，是⊙O的直径，垂直于所在的平面，C是圆周上不同于的一动点.

(1)证明：是直角三角形；

(2)若，且当直线与平面所成角的正切值为时，求直线与平面所成角的正弦值.

题型三：二面角

角度1：定义法

知识点归纳

在二面角的棱上任取一点（通常都是取特殊点，如中点，端点），过该点在两个半平面内作二面角棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角.

典型例题

例题1．在正方体中，二面角的大小是___________.

例题2．四棱锥中，底面是边长为的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角的平面角为_____________．

例题3．过正方形之顶点作平面，若，则平面与平面所成的锐二面角的度数为________．

角度2：三垂线法

知识点归纳

三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直.

具体操作步骤（如图在三棱锥中）求二面角：

①第一垂：过点向平面引垂线（一般是找+证，证明）

②第二垂：在平面中，过点作,垂足为

③第三垂：连接（解答题需证明）

典型例题

例题1．如图，若平面，四边形为正方形，，则二面角的大小为______.

例题2．已知如图边长为的正方形外有一点且平面，，二面角的大小的正切值______．

例题3．如图,在正四棱锥中,.

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