圆的基础知识讲解.docxVIP

一、圆的定义

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线叫做圆。

固定的端点O叫做圆心（确定圆的位置）。

线段OA叫做半径（确定圆的大小）。

连接圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径。直径是圆内最长的弦，其长度是半径的2倍（d=2r）。

集合定义：圆是平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。

二、圆的重要元素

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称“弧”。用符号“⌒”表示。

半圆：直径将圆分成两个半圆。

优弧：大于半圆的弧。

劣弧：小于半圆的弧。

圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

弦心距：从圆心到弦的垂线段的长度。

三、圆的核心定理与性质

这是圆的部分中最关键的内容，需要理解和掌握。

1.垂径定理

定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

核心：涉及“直径、弦、垂直、平分”四者中，知二推二。

2.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

定理：在同圆或等圆中：

圆心角相等???它所对的弧相等???它所对的弦相等???弦心距相等。

记忆技巧：只要其中一组量相等，就能推出其他三组量也相等。

3.圆周角定理

定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论：

同弧或等弧所对的圆周角相等。

半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

四、点、直线与圆的位置关系

1.点与圆的位置关系

设点P到圆心O的距离为d，圆的半径为r：

点P在圆外??dr

点P在圆上??d=r

点P在圆内??dr

2.直线与圆的位置关系

设圆心O到直线l的距离为d，圆的半径为r：

相离：直线与圆没有公共点??dr

相切：直线与圆有唯一公共点（切点）??d=r

相交：直线与圆有两个公共点（割线）??dr

3.切线的性质与判定

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

推理：如果一条直线满足：①垂直于半径，②垂足在圆上，那么这条直线就是圆的切线。

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。

五、圆的计算公式

周长(C)：C=2πr?或?C=πd（其中π是圆周率，约等于3.14）

面积(S)：S=πr2

六、解题技巧与要点

见直径，想直角：遇到直径，要立刻联想到直径所对的圆周角是90°。

见切线，连半径：遇到切线，要立刻连接圆心和切点，利用切线的性质（垂直）来解题。

善用辅助线：在解决关于弦的问题时，常作“弦心距”或“垂直于弦的半径”；在解决切线问题时，常连接圆心与切点。

牢记基本图形：熟练掌握垂径定理、圆周角定理、切线长定理等基本图形模型。

希望这份系统的讲解能帮助你更好地理解和掌握圆的基础知识！在学习时，务必结合图形来理解这些定义和定理，这样才能记得牢、用得活。