2025年大学《统计学》专业题库—— 时间序列数据挖掘与趋势预测.docxVIP

2025年大学《统计学》专业题库——时间序列数据挖掘与趋势预测

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、

简述时间序列数据与非时间序列数据在统计分析和建模方面的主要区别。

二、

解释时间序列数据中的趋势、季节性和随机成分。请说明为什么在进行许多时间序列模型分析之前，通常需要将非平稳序列转换为平稳序列。

三、

描述自回归（AR）模型和滑动平均（MA）模型的数学定义。对于一个AR(1)模型Yt=φYt-1+εt，其中εt是均值为0的白噪声，请推导Yt的均值和方差。

四、

绘制Yt=0.7Yt-1+0.2Yt-2+εt的模拟自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）的示意图，并简要说明其特征。假设εt是均值为0，方差为1的白噪声。

五、

在进行ARIMA模型拟合时，为什么残差分析（诊断）是模型构建过程中不可或缺的一步？请列举至少三种常用的残差检验方法。

六、

解释什么是季节性ARIMA模型（SARIMA模型），并说明其与普通ARIMA模型在形式上的主要区别以及为何需要这种区别。请给出一个SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s的数学表达式。

七、

霍尔特-温特斯（Holt-Winters）指数平滑法适用于哪种类型的时间序列数据？请简述其基本思想，并写出适合具有趋势和季节性成分的序列的指数平滑公式。

八、

某时间序列数据经过一阶差分后变为平稳序列。原始序列的一阶差分表示为什么？如果原始序列是月度数据，并且表现出明显的年度季节性（如12个月周期），那么差分后的序列应该具有怎样的季节性特性（如果有的话）？

九、

假设你正在使用ARIMA(1,1,1)模型对某时间序列进行拟合。请写出该模型的差分方程形式。如果模型拟合后，残差分析显示存在显著的二次趋势，这可能意味着什么？你会如何调整模型？

十、

比较并对比朴素预测方法（NaiveMethod）和移动平均法（MovingAverage,MA）在时间序列预测中的应用场景和基本原理。在什么情况下，朴素预测方法可能比MA方法更优？

十一、

解释“白噪声”（WhiteNoise）在时间序列分析中的含义。一个严格意义上的白噪声序列需要满足哪些统计特性？

十二、

描述一下使用最小二乘法（OLS）估计ARIMA模型参数的基本思想。为什么在应用OLS之前，通常需要确保模型残差具有白噪声特性？

十三、

在时间序列预测中，什么是预测置信区间？它与点预测有什么不同？请说明计算预测置信区间通常需要考虑哪些因素。

十四、

举例说明在哪些实际领域（如经济、金融、工程、环境等）时间序列分析与应用至关重要。选择一个领域，简要描述其中可能遇到的时间序列分析问题。

试卷答案

一、

时间序列数据按时间顺序排列，具有内在的时间依赖性，其值可能受到先前值或其他时间相关因素的影响。而非时间序列数据（如横截面数据）是在特定时间点或截面上收集的，数据点之间通常假设相互独立，不存在明显的时间依赖关系。时间序列分析需要考虑数据的动态演变和自相关性，而非时间序列分析则通常假设观测值独立性。

二、

趋势成分代表数据长期向上或向下的漂移；季节性成分代表在固定周期（如季度、月度）内重复出现的模式；随机成分（或称误差成分）则是无法解释的波动。许多时间序列模型（特别是ARIMA类模型）的基本假设是数据具有平稳性，即均值、方差和自协方差不随时间变化。非平稳序列（如包含明显趋势或季节性的序列）具有时变的统计特性，直接应用会得出错误结论，因此需要通过差分、分解等方法消除非平稳性，使其变为平稳序列，从而满足模型假设，保证分析的合理性和预测的有效性。

三、

AR(1)模型Yt=φYt-1+εt中，Yt是当前时刻的值，φ是自回归系数，Yt-1是前一个时刻的值，εt是白噪声项。

均值：E(Yt)=E(φYt-1+εt)=φE(Yt-1)+E(εt)=φE(Yt)+0。若E(Yt)=μ，则μ=φμ，得E(Yt)=μ=0。

方差：Var(Yt)=Var(φYt-1+εt)=φ2Var(Yt-1)+Var(εt)=φ2Var(Yt)+1。若Var(Yt)=σ2，则σ2=φ2σ2+1，得(1-φ2)σ2=1，即Var(Yt)=σ2=1/(1-φ2)（假设|φ|1）。

四、

ACF图：从零点开始，第一个滞后可能显著（取决于φ），第二个滞后可能接近零，后续滞后可能缓慢衰减或呈现某种模式（取决于φ和0.2的交互）。PACF图：在第一个滞后显著（值为φ），在第二个滞后及以后趋于零。

示意图特征：ACF从正或负开始，逐渐衰减至零；PACF在第一个滞后显著，之后迅速衰减至零。

五、

残差是