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2013高三数学二轮专题一第4讲不等式及线性规划

一、基础知识回顾

不等式是高中数学的重要内容，它不仅是解决各类数学问题的基础工具，也是高考数学中的重点考查内容。在高三二轮复习阶段，对不等式及线性规划的深入理解和熟练掌握，对于提高数学解题能力具有重要意义。

1.不等式的基本性质

传递性：若ab，bc，则ac

可加性：若ab，则a+cb+c

可乘性：若ab，c0，则acbc；若ab，c0，则acbc

乘方性质：若ab0，n为正整数，则a?b?

2.常见不等式类型

常见的不等式类型包括：

一元一次不等式：ax+b0（a≠0）

一元二次不等式：ax2+bx+c0（a≠0）

分式不等式：(f(x))/(g(x))0

绝对值不等式：|f(x)|a或|f(x)|a

指数不等式和对数不等式

3.线性规划的基本概念

线性规划是运筹学的一个重要分支，在数学建模中有着广泛应用。线性规划问题的一般形式为：

目标函数：z=ax+（求最大值或最小值）

约束条件：

a?x+b?y≤c?

a?x+b?y≤c?

x≥0，y≥0

线性规划的可行解、可行域、最优解等概念是解决线性规划问题的基础。

4.不等式的解法技巧

（1）一元二次不等式的解法

对于一元二次不等式ax2+bx+c0（a≠0），其解法步骤如下：

求出对应方程ax2+bx+c=0的根x?、x?（当判别式Δ≥0时）；

根据二次函数图像的开口方向和根的位置确定解集：

当a0时，若Δ0，解集为{x|xx?或xx?}；若Δ=0，解集为{x|x≠b/(2a)}；若Δ0，解集为R。

当a0时，若Δ0，解集为{x|x?xx?}；若Δ=0，解集为?；若Δ0，解集为?。

（2）分式不等式的解法

分式不等式(f(x))/(g(x))0的解法通常采用数轴穿根法：

确定分子f(x)=0和分母g(x)=0的根；

在数轴上标出所有根，从右上方开始画曲线，依次穿过各根；

根据不等式符号确定解集。

（3）绝对值不等式的解法

绝对值不等式|f(x)|a的解集为{x|af(x)a}；

绝对值不等式|f(x)|a的解集为{x|f(x)a或f(x)a}。

对于含有多个绝对值的不等式，通常采用零点分段法进行求解。

二、线性规划的图解法

1.可行域的确定

可行域是满足所有约束条件的点(x,y)的集合。确定可行域的步骤如下：

将每个不等式约束转化为等式，画出对应的直线；

确定每个不等式表示的区域（直线的上方或下方）；

取所有不等式表示的区域的交集，得到可行域。

2.目标函数的优化

线性规划问题的最优解通常在可行域的顶点处取得。求解步骤如下：

画出可行域并确定其顶点坐标；

将各顶点坐标代入目标函数，计算对应的函数值；

比较各函数值的大小，确定最优解和最优值。

3.特殊情况分析

（1）无可行解的情况

当约束条件相互矛盾时，可行域为空集，此时线性规划问题无可行解。

（2）无界解的情况

当可行域无界且目标函数可以无限增大或无限减小时，线性规划问题无最优解。

（3）无穷多最优解的情况

当目标函数的等值线与可行域的某条边平行时，线性规划问题可能有无穷多最优解。

三、典型例题分析

1.不等式综合应用

例1：已知函数f(x)=x22x+3，求满足f(x)≤5的x的取值范围。

解：由题意得x22x+3≤5，即x22x2≤0。

解方程x22x2=0，得x=1±√3。

由于二次函数开口向上，所以不等式的解集为[1√3,1+√3]。

例2：解不等式|x2|+|x+1|5。

解：采用零点分段法。

当x1时，原不等式化为(x2)(x+1)5，即2x+15，解得x2。

当1≤x2时，原不等式化为(x2)+(x+1)5，即35，恒成立。

当x≥2时，原不等式化为(x2)+(x+1)5，即2x15，解得x3。

综上，原不等式的解集为(2,3)。

2.线性规划应用

例3：某工厂生产甲、乙两种产品，每件产品需经过A、B两道工序。已知每件甲产品在A、B工序上分别需要2小时和1小时，每件乙产品在A、B工序上分别需要1小时和3小时。A工序每天最多工作10小时，B工序每天最多工作15小时。每件甲产品利润为3万元，每件乙产品利润为4万元。问：该工厂每天应生产甲、乙产品各多少件，才能获得最大利润