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2025年大学《数学与应用数学》专业题库——数学在智能心理健康中的作用

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

注意事项：请仔细阅读下列各题，根据要求作答。

1.简述概率论与数理统计中几个核心概念（如随机事件、概率、期望、方差、假设检验）在描述和分析大规模心理健康调查数据中的作用。

2.描述线性代数中的主成分分析（PCA）或因子分析（FA）的基本原理，并说明这两种方法在处理高维心理量表数据（例如，包含数十个题目的焦虑或抑郁量表）时，如何帮助研究者识别潜在的维度结构或减少数据冗余。

3.考虑一个使用机器学习进行抑郁症筛查的简化模型。假设该模型采用逻辑回归，输入特征包括年龄、性别、睡眠时长、社交媒体使用频率等。请阐述逻辑回归模型的基本原理，并讨论在构建和评估此模型时，需要考虑哪些关键因素（至少列举四点，如特征选择、过拟合、模型验证、伦理问题等）。

4.解释什么是心理测量学中的项目反应理论（IRT）。选择一种常见的IRT模型（如1参数逻辑斯蒂模型），简要说明其基本假设，并解释该模型如何能够提供比简单计分法更精确的个体能力估计。

5.设想研究者收集了两组人群（例如，接受某种干预的组和未接受干预的组）在某个心理健康指标上的得分数据。请说明如何运用适当的统计方法来检验两组人群在该指标上是否存在显著差异？在说明中，请提及需要考虑的假设条件以及可能选择的具体检验方法（至少两种）。

6.讨论将数学建模方法（如微分方程模型）应用于模拟认知过程（例如，决策-making或注意力分配）时的优势和挑战。举例说明一种具体的模型应用，并分析其局限性。

7.描述如何运用聚类分析这样的非监督学习技术来对具有多种行为特征（如在线活动、情绪表达等）的用户进行分群，并解释这种分群结果可能如何在智能心理健康服务平台中发挥作用。

8.假设你正在开发一个旨在预测用户未来抑郁风险的算法。请从数学建模和算法设计的角度，讨论如何确保该算法的公平性，并防止对特定人群产生歧视性结果。

9.描述计算社会科学方法中，如何利用网络分析相关的数学工具（如中心性度量）来研究社交媒体上的情绪传播或心理健康信息的扩散模式。

10.结合数学建模的思路，论述如何量化评估一个心理健康干预措施（无论是线上还是线下）的效果。需要说明应考虑哪些关键的数学或统计指标，以及如何设计研究以获得可靠的效果评估。

试卷答案

1.解析：概率论用于描述数据中随机现象的发生可能性，如某症状出现的概率、不同因素与心理健康问题的关联概率。期望和方差是数据集中趋势和离散程度的度量，有助于理解心理健康指标的平均水平和个体差异。假设检验用于判断观察到的数据差异是否具有统计学意义，例如，检验某新疗法是否显著改变了抑郁评分。这些统计工具共同构成了分析大规模调查数据的基础，使研究者能够量化心理现象，识别模式，并做出基于数据的推断。

2.解析：PCA通过线性变换将原始变量组合成一组新的、不相关的变量（主成分），这些主成分按解释的方差大小排序。其原理在于，高维数据中可能存在冗余信息和线性相关性，PCA旨在找到数据的主要变异方向，用少数几个主成分保留大部分信息。在心理量表分析中，PCA有助于识别一组题目是否共同测量同一个潜在的心理特质（维度），从而简化量表结构，减少被试答题负担，并可能揭示隐藏的因子结构，为理论构建提供依据。

3.解析：逻辑回归是一种用于预测二元结果的分类模型（如抑郁/非抑郁），其输出是一个概率值（介于0和1之间），表示给定输入特征时，事件发生的可能性。模型原理基于将线性组合的输入特征预测值通过一个Sigmoid函数转换，得到概率输出。构建和评估此模型时需考虑：1)特征选择与工程：识别对预测最有用的特征，可能需要领域知识或特征选择算法。2)过拟合与正则化：模型对训练数据学习过度，泛化能力差，需使用正则化技术（如L1或L2惩罚）控制模型复杂度。3)模型验证：使用独立的验证集或交叉验证评估模型性能，常用指标包括准确率、精确率、召回率、F1分数和AUC（ROC曲线下面积）。4)伦理问题：需关注算法偏见（不同群体预测效果是否公平）、数据隐私保护、模型透明度以及误诊误判可能带来的社会影响。

4.解析：项目反应理论（IRT）是一类数学模型，用于描述被试在回答心理测试题目时的能力水平与题目难度之间的关系。IRT模型假设每个题目都有固定的难度参数，每个被试都有唯一的能力参数，且被试答对或答错某个题目的概率仅取决于该题目的难度和被试的能力。1参数逻辑斯蒂模型（1PLModel，也称为逻辑回归模型）是最简单的IRT模型，其核心假设是答对概率P遵循逻辑斯蒂函数，形式为P=1/(1+e^(-(b*theta-a)))