初中数学竞赛标准教程及练习44数的整除（二）.docVIP

初中数学竞赛精品标准教程及练习（44）

数的整除（二）

一、内容提要

第一讲介绍了能被2，3，4，5，7，8，9，11，13，25整除的自然数的特征，本讲将介绍用因式分解方法解答数的整除问题.

几个常用的定理，公式，法则：

⑴n个连续正整数的积能被n！整除.（n的阶乘：n！＝1×2×3×…×n）.

例如：a为整数时，2a(a+1)，6a(a+1)(a+2),24

⑵若a且ac,则a(bc).

⑶若a,b互质，且ac,bc，则abc.

反过来也成立：a,b互质，abc，则ac,bc.

例如：8和15互质，8｜a,15|a，则120｜a.

反过来也成立：若120｜a.则8｜a,15|a.

⑷由乘法公式（n为正整数）推得：

由(a－b)(an1+an2b+……+abn2+bn1)=an－bn.得(a－b)|(an－bn).

(a+b)(a2n－a2n－1b+……ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1.(a+b)|(a2n+1+b2n+1).

(a+b)(a2n－1－a2n－2b+……+ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n.(a+b)|(a2n－b2n).

概括起来：齐偶数次幂的差式a2n－b2n含有因式a＋b和a－b.

齐奇数次幂的和或差式a2n+1＋b2n+1或a2n+1－b2n+1只分别含有因式a＋b或a－b.

例如（a+b）|(a6－b6),(a－b)|(a8－b8)；

(a+b)|(a5+b5)，(a－b)|(a5－b5).

二、例题

已知:整数n2.求证：n5－5n3+4n能被120整除..

证明：n5－5n3+4n＝n(n4－5n2+4)=n(n－1)(n+1)(n+2)(n－2).

∵(n－2)(n－1)n(n+1)(n＋2)是五个连续整数，能被n!整除，

∴120｜n5－5n3+4n.

已知：n为正整数.求证：n3+n2+n是3的倍数.

证明：n3+n2+n＝n（2n2+3n+1）

=n(n+1)(2n+1)

=n(n+1)(n+2+n－1)

=n(n+1)(n+2)+n(n+1)(n－1).

∵3！｜n(n+1)(n+2)，且3！｜n(n+1)(n－1)..

∴3｜n(n+1)(n+2)+n(n+1)(n－1).

即n3+n2+n是3的倍数.

（上两例关鍵在于创造连续整数）

例3.求证：⑴33｜255＋1；⑵1989｜（.

证明：⑴255＋1＝25×11＋111＝3211＋111.

∵(32＋1)|(3211+111)，即33｜255＋1.

⑵（添两项）

∵（1990＋1988）｜（.

即1989×2｜（.

∵(19882－1)

＝（1988＋1）（1988－1）.

即1989×2N＋1989××1987.（N是整数）

∴1989｜

例4设n是正整数，求证：7｜（32n+1+2n+2）.

证明：32n+1+2n+2＝3×32n+4×2n=3×9n+4×2n＋3×2n－3×2n（添两项）

＝（4×2n＋3×2n）＋（3×9n－3×2n）

＝（4＋3）＋3（9n－2n）

＝7×2n＋3（9－2）N.（N是整数）

∴7｜（32n+1+2n+2）

（例3，4是设法利用乘法公式）

解：∵33＝3×11，

∴1＋9+x+y+8+7其和是3的倍数，即x+y=3K－25(k为整数).

又（1＋x+8）－(9+y+7)其差是11的倍数，即x－y=11h+7(h是整数).

∵0≤x≤9，0≤y≤9，

∴0≤x＋y≤18，9≤x－y≤9，x+yx－y,且x+y和x－y同是奇数或偶数.

解：N＝2078＋100x=17×122＋4＋17×6x－2x

＝17×（122＋6x）+4－2x.

∵17｜N，

∴17｜4－2x，

当4－2x=0.

∴x=2.

三、练习44

要使2n+1能被3整除，整数n应取＿＿＿，若6｜（5n－1）,则整数n应取＿＿＿.

求证：

①4!|（n4+2n3－n2－2n）；②24｜n(n2－1)(3n+2)；

③6｜（n3+11n）；④30｜（n5－n）.

求证：

①100｜9910－1）；②57｜（23333＋72222）