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第一章特殊平行四边形

1菱形的性质与判定

第1课时菱形的性质

1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.也就是说，菱形是特殊的平行四边形.

2.菱形的性质：

（1）菱形是轴对称图形，也是中心

对称图形，它有两条对称轴，对称中心是对角线交点.

（2）菱形的两组对边分别平行且四条边相等；两条对角线互相垂直且平分；两组对角分别相等，邻角互补.

认识菱形

【例1】（原创题）下列图案中，不是由菱形组成的是（C）

先找出每个图案中组成图案的基本图形，再根据定义判断基本图形是不是菱形，从而确定不是由菱形组成的图案.

菱形的对称性

【例2】如图，在菱形ABCD中，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影和空白部分.如果菱形ABCD的面积为42cm2，那么阴影部分的面积为22cm2.

经过对称中心的每一条直线都能将菱形分为面积相等的两部分.图中阴影部分的面积等于菱形面积的一半，这是特殊四边形对称性的一种广泛运用.

菱形的性质

【例3】（周口模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，M为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为32，∠BAD＝60°，求△OCM的面积.

解：∵菱形ABCD的周长为32，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝8.

∵∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形.

∴BD＝AD＝8.

∵AC⊥BD，AC，BD互相平分，

∴OD＝4，AO＝CO＝43.

∵M为边CD的中点，

∴S△OCM＝12S△OCD＝12×12×4×43＝

本例可根据菱形的四条边相等，由周长求出边长，再利用等边三角形的性质求出其中一条对角线的长，利用勾股定理求出另一条对角线的长.

1.（永城模拟）菱形具有而平行四边形不具有的性质是（B）

A.是中心对称图形

B.邻边相等

C.两条对角线相等

D.两条对角线互相平分

2.（周口模拟）如图，在菱形ABCD中，E，F分别为AB，AC的中点，若菱形ABCD的周长为16，则EF的长为（B）

第2题图

A.1 B.2 C.3 D.4

3.如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上，若∠ADB＝32°，则∠DCE＝64°.

第3题图

4.（开封模拟）如图所示的木质活动衣帽架由三个全等的菱形组成，根据实际需要可调节A，E间的距离.已知菱形ABCD的边长为20cm，若A，E间的距离调节到60cm，则这个活动衣帽架所围成的面积为（B）

第4题图

A.600cm2 B.6003cm2

C.4503cm2 D.9003cm2

5.如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，E为OB的中点，F为AD的中点，连接EF，则EF的长为132

第5题图

6.（周口模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（－3，3），C（1，－1），菱形ABCD的对角线BD交AC于点M，交x轴于点N，若BN＝2ND，则点B的坐标是（D）

第6题图

A.（32，72） B.（2，2

C.（4，2） D.（2，4）

7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF.已知BF＝8，DF＝4，求CD的长.

第7题图

CD＝5.

1.（河南中考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为CD的中点.若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（C）

A.6 B.12 C.24 D.48

第1题图

2.（甘孜州中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点B在x轴的正半轴上，点A的坐标为（1，3），则点C的坐标为（3，3）.

第2题图

第2课时菱形的判定

1.根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

2.菱形的判定定理：（1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（2）四条边相等的四边形是菱形.

尺规作菱形

【例1】已知线段a，以a为边长作菱形ABCD.

作法：作线段AB＝a，以点A为圆心，AB的长为半径作圆弧，在圆弧上任取一点D，分别以B，D为圆心，a的长为半径作弧，两弧相交于点C，则四边形ABCD是要求作的菱形.

作菱形一般是作四条长度相等的线段，但由于四边形具有不稳定性，以对角线的长所作的菱形是唯一的，而以这种方法作出的菱形不唯一.

利用对角线互相垂直判定菱形

【例2】如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，以AB，BD为邻边作?ABDE，连接EC，当∠BAC＝90°时，求证：四边形ADCE为菱形.

证明：∵四边形ABDE是平行四边形，

∴AE＝BD，AE∥BD，AB∥DE.

∵AD是边BC上的中线，∴BD＝CD，

∴CD＝AE，且AE∥CD，∴四边形AECD