美国数学竞赛试题及答案.docxVIP

美国数学竞赛试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数f(x)=ax^2+bx+c的图像经过点(1,2)和(-1,0)，且对称轴为x=1，则f(2)的值为（）（2分）

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】由对称轴为x=1可知，顶点横坐标为1，即-b/2a=1，得b=-2a。又f(1)=a+b+c=2，f(-1)=a-b+c=0，代入b=-2a解得a=1,b=-2,c=1。则f(x)=x^2-2x+1，f(2)=4-4+1=1，选项有误，应重新命题。

2.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=5，且cosC=1/2，则△ABC的面积为（）（2分）

A.6B.7.5C.10D.12

【答案】B

【解析】由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=9+25-15=19，得c=√19。面积S=1/2absinC=1/2×3×5×√3/2=15√3/4，选项有误，应重新命题。

3.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|ax=1}，且A∪B={1,2}，则实数a的取值集合为（）（2分）

A.{1}B.{-1}C.{1,-1}D.{0}

【答案】C

【解析】A={1,2}，由A∪B={1,2}且B?A，得B={1}或B={2}或B={1,2}。若B={1}，则a=1；若B={2}，则a=1/2；若B={1,2}，则a=1或a=1/2。综合得a=1，选项有误，应重新命题。

4.在等比数列{an}中，a1=1，公比q≠1，若Sn=4，则a4的值为（）（2分）

A.2B.4C.8D.16

【答案】A

【解析】Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=4，得q^n=4(q-1)/q。a4=a1q^3=q^3，代入q^n=4(q-1)/q解得q=2，a4=8，选项有误，应重新命题。

5.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）（2分）

A.1B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】f(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到1和-2的距离之和，最小值为|-2-1|=3，选项正确。

6.若复数z=1+i满足z^2+kz+1=0（k∈R），则k的值为（）（2分）

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】A

【解析】z=1+i，z^2=2i，代入得2i+k(1+i)+1=0，得k=-1-i，非实数，选项有误，应重新命题。

7.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=1，则二面角A-PC-D的余弦值为（）（2分）

A.1/√3B.1/2C.√2/2D.√3/2

【答案】B

【解析】取PC中点E，连AE、DE，则∠ADE为二面角A-PC-D的平面角。DE=1/√2，AE=√(1+1/4)=√5/2，cos∠ADE=DE/AE=√2/√5=√10/5，选项有误，应重新命题。

8.执行以下程序段后，变量S的值为（）（2分）

i=1;S=0;

whilei=5:

S=S+i;

i=i+2;

A.3B.8C.15D.31

【答案】C

【解析】i=1,S=1;i=3,S=4;i=5,S=9;i=75，循环结束，S=15，选项正确。

9.在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=3:4:5，则cosA的值为（）（2分）

A.-1/3B.1/3C.1/4D.-1/4

【答案】B

【解析】由正弦定理a:b:c=3:4:5，设a=3k,b=4k,c=5k。cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(16k^2+25k^2-9k^2)/(2×4k×5k)=32k^2/40k^2=4/5，选项有误，应重新命题。

10.执行以下程序段后，变量T的值为（）（2分）

T=1;

forjinrange(1,6):

T=Tj;

A.5B.15C.120D.720

【答案】C

【解析】T=1×1×2×3×4×5=120，选项正确。

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的是（）（4分）

A.若ab，则a^2b^2B.若a^2b^2，则ab

C.若ab，则1/a1/bD.若ab0，则lnalnb

【答案】C、D

【解析】A反例：a=1,b=-2;B反例：a=-2,b=1;C正确，1/a和1/b均为负数，a越大绝对值越小；D对数函数单调递增，选项有误，应重新命题。

2.在△ABC中，若a=3，b=5，c=7，则△ABC的（）（4分）

A.最大角为120°B.最小角为30°

C.面积为√15D.外接圆半径为5/2

【答案】A、C

【解析】最大角为C，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=(9+25-49)/(30)=-15/30=-1/2，C=120°；面积S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]，s=(3+5+7)/2=7.5，S=√[7.5×