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2025年大学《数理基础科学》专业题库——关于热传导的热稳定性问题

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、

简述热传导方程的物理意义及其推导过程中涉及的关键假设。说明在什么条件下可以忽略体积热源项？

二、

什么是热传导问题的定解问题？请分别解释初始条件和边界条件的物理意义，并举例说明几种常见的边界条件类型及其数学表达式。

三、

对于一维无限长杆的热传导问题，其热传导方程为?u/?t=α?2u/?x2，其中α为热扩散率。假设初始温度分布为u(x,0)=f(x)，边界条件为u(0,t)=T?和u(∞,t)=T?(T?≠T?)。请定性分析此系统在热稳态（t→∞）时的行为。如果边界条件改为u(0,t)=T?和u(x,t)|_(x→∞)=T?，稳态行为又如何？请解释原因。

四、

什么是热传导系统的线性稳定性？请简述用小扰动法分析一维热传导系统（如热杆）线性稳定性的基本步骤。设一维热杆的热传导方程为?u/?t=α?2u/?x2+q(x)，其中q(x)为沿杆的分布热源。请写出小扰动法中引入扰动函数后的无量纲化方程，并说明其中哪些项决定了系统的稳定性。

五、

考虑在x=0处有一个瞬时点热源注入一维无限长杆，其初始温度分布为δ(x)δ(t)。杆的热传导方程为?u/?t=α?2u/?x2。请推导该问题的格林函数解表达式。若改为在t=0时在x=0处放置一个温度为T?的点源，且之后保持不变（即u(x,t)=T?·H(t)δ(x)），其中H(t)为阶跃函数，请写出该情况的解。

六、

对于圆盘内的热传导问题，热传导方程在极坐标下为?u/?t=α(1/ρ?/?ρ[ρ?u/?ρ]+1/ρ2?2u/?θ2)。假设圆盘关于中心对称，初始温度分布为u(r,θ,0)=f(r)，边界条件为在r=R处温度保持恒定T?。请说明如何分离变量法求解此稳态问题（即令?u/?t=0）？在分离变量时，θ方向上的函数解可能有哪些形式？为什么？

七、

已知某二维热传导问题的稳态解u(x,y)满足拉普拉斯方程?2u=?2u/?x2+?2u/?y2=0，边界条件为u在四条边上的值分别为给定函数g?(x),g?(y),g?(x),g?(y)。请写出此问题的精确解的一般形式（用泊松积分或类似方法表述即可，无需具体计算）。如果边界条件变为u在一条边上的值为给定函数，其他三条边绝热（即?u/?n=0），请简述如何处理此问题。

八、

设有一维热杆，其热传导方程为?u/?t=α?2u/?x2，初始温度分布为u(x,0)=sin(πx/L)，边界条件为u(0,t)=0和u(L,t)=0。请用分离变量法证明该初始条件下的解是稳定的（即在所有x处，u(x,t)随时间t的变化是有界的）。请解释此稳定性结果与系统物理特性（如无热源、边界固定）的关系。

九、

考虑一维热杆，其热传导方程为?u/?t=α?2u/?x2-Bu，其中B0为一个常数。初始温度分布为u(x,0)=f(x)。请定性分析此系统（称为具有热耗散的杆）的稳定性特性，并与无耗散的简单热传导方程?u/?t=α?2u/?x2进行比较。这种耗散项对系统稳定性有何影响？请解释物理原因。

试卷答案

一、

热传导方程?u/?t-α?2u/?x2=0描述了介质中温度u随时间t的变化率与温度梯度平方成正比，比例系数为热扩散率α。它反映了热量从高温区向低温区传递的物理过程。推导过程中关键假设包括：材料均匀、各向同性、无内热源（或体积热源项可忽略）、温度梯度不大（线性热物性）、稳态或瞬态过程等。体积热源项可忽略通常指其强度远小于传导热流或问题关注点为主传导过程。

二、

热传导问题的定解问题是指为热传导方程确定一个满足特定初始状态和边界条件的解。初始条件描述系统在初始时刻t=0的温度分布u(x,0)=f(x)，它给出了系统初始状态的“快照”。边界条件规定了在求解区域边界上的温度行为或热流行为。常见边界条件类型及其数学表达式举例：第一类边界条件（Dirichlet）：u(x,t)|_Γ=g(x,t)（边界温度已知）；第二类边界条件（Neumann）：-k?u/?n|_Γ=h(x,t)（边界热流密度已知，k为热导率）；第三类边界条件（Robin）：-k?u/?n|_Γ=h(u-T_∞)（边界与周围环境进行对流换热，T_∞为环境温度，h为对流换热系数）。

三、

对于u(0