以椭圆定义的实验教学为例培养实验意识.pdfVIP

以椭圆定义的实验教学为例培养实验意

识

摘要：结合数学史，补充完善教材中椭圆定义来源。利用信息技术手段研究数

学问题，引导学生学习使用Geogebra软件来学习旦德林双球模型，通过圆的拉

伸和压缩绘制椭圆。利用定义探究教材习题改编的折纸实验。在整个学习中，让

学生参与数学实验的过程，体验数学实验对理解数学概念的帮助，培养学生的动

手能力和探索问题的态度。

关键词：椭圆定义，数学史，数学实验，旦德林双球，Geogebra软件

引言：课后对学生椭圆定义的学习反中，发现学生对椭圆定义的认识有一

些模糊的地方，经过统计，学生对平面截圆锥的截线为何是椭圆仅停留在形上，

不清楚截线上的点满足的几何特征。也好奇课本上椭圆画法的由来。所以在讲完

椭圆之后选择利用一课时探究椭圆定义的由来，完善椭圆定义的认识过程。本文

以椭圆定义发生和发展的数学史为线索，通过信息技术手段，让学生动手实验，

参与椭圆定义的发生过程。在此过程中培养学生的数学实验意识。

一教学背景分析

用平面去截圆锥面，截线即是圆锥曲线。北师大版选择性必修一第2章“椭

圆及其标准方程一节中通过生活中椭圆形状物体和卫星轨道引入椭圆，利用两

钉一线画出椭圆，再给出椭圆的定义。教学实践及课后调查发现，学生对此是非

常疑惑的。疑惑的是：平面截圆锥的截线是如何确定为椭圆的，截线上的点有什

么特征？椭圆的画法是怎么产生的？圆有一个圆心，而椭圆为什么有两个焦点？

这两个焦点是怎么发现的？为什么是距离之和，而不是距离相等呢？为什么是距

离，而不是角度或其他呢？显然，这些疑惑来源于教学中对椭圆知识发生过程的

忽略。为了搞清楚这些问题，弄清楚椭圆定义的来龙去脉，笔者设计了一节数学

实验课，向学生们展示椭圆定义的发生和发展史。

二、探索椭圆的历史

椭圆定义的发生和发展历经了2000多年。中间有几个关键节点。首先古希

腊人在圆柱或圆锥被平面截得的截口上发现椭圆。到公元前3世纪，梅内克缪斯

用垂直于锥面母线的平面截三种圆锥（直角，锐角和钝角的圆锥），截线分别是

抛物线，椭圆和双曲线的一支。这也是圆锥曲线的由来。此时椭圆仅只是确定了形

状。大约一个世纪后，阿波罗尼斯采取截线定义，并用了非常复杂的方法证明了

“椭圆的焦半径之和等于常数这一性质。随之在公元6世纪，拜占庭数学家安提

缪斯利用该性质得到了椭圆的画法，即课本上的这个“两钉一线画法，也叫“园艺

师画法o直到19世纪，旦德林在圆锥里上下塞进两个相离的内切球，非常巧妙

地在圆锥上推导出椭圆的焦半径性质，从而统一了截线定义与轨迹定义。使椭

圆的形状与椭圆上点的几何特征有机结合了起来。

笔者根据历史上对椭圆认识的发生和发展过程，利用实验教学法设计了椭圆

定义的教学。根据教学经验，按照学生理解的难易程度，依次为：生活情境，自

然科学，平面截圆柱（圆锥），旦德林双球圆柱和圆锥模型，细绳实验，折纸，

圆的压缩。实验的地点是微机室。实验工具包括电脑，一个圆规，一条线，两张

白纸，一支笔。下面是实验的主要过程。

三实验过程

3.1.直观感受椭圆的形状

活动一：用Geogebra软件模拟平行光照射篮球的过程。引导学生观察篮球

在水平面上影子轮廓的形状，留意球与地面的切点到影子轮廓的距离发生了怎样的

变动，有什么规律。我们建立一个几何模型来研究它。这一束平行光可以看成是

一个与球相切的圆柱面。影子的椭圆形轮廓可以看成圆柱面与平面的交线。设球

与平面的切点为F,在椭圆上任取一点P,连接PF,过P点的光线与圆相切于点

Qo如图lo接着我们把圆柱竖起来。如图2o

3.2.利用软件演示旦德林双球，探讨椭圆上点的几何性质

活动二：利用Geogebra软件构造旦德林双球圆柱模型。随着P点的移动，观

察哪些点、线、面的位置与长度在变换，哪些没有变。学生会发现线段PF的长

度在变化，而且很有规律，先变长再变短。线段PF始终在平面上，光线PQ始终

在圆柱面上；线段PQ始终与球相切，线段PF也始终与球相切，|PF|二|PQ|。那

么PQ长度的变化有什么规律呢？这个圆柱被平面面所截的下半部分和上半部分

非常的对称。旦德林和同学们想的一样，在圆柱的下半部分又塞了一个球，球与

平面相切于点Eo如图3.数