2025年大学《数理基础科学》专业题库—— 数学微分几何理论.docxVIP

2025年大学《数理基础科学》专业题库——数学微分几何理论

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、选择题（每题3分，共15分。请将正确选项的字母填在题后的括号内。）

1.下列哪个不是仿射联络的性质？（）

A.线性性

B.齐次性

C.不变性

D.非对称性

2.设M是光滑流形，c:(-ε,ε)→M是M上的光滑曲线，t为参数。如果c(t)与曲线的切向量总是正交，则称c为M上的（）。

A.测地线

B.常曲率曲线

C.可展曲面上的测地线

D.平行曲线

3.一个光滑流形M的切丛TM在第i个切空间Ti上的投影记作π_i:Ti→M，那么π_i是（）。

A.满射

B.单射

C.双射

D.非满射且非单射

4.如果一个光滑曲面的所有截面曲率都是零，则该曲面是（）。

A.可展曲面

B.双曲曲面

C.椭圆曲面

D.抛物曲面

5.度量g在曲线c:I→M上平行移动，得到的平行移动向量场X满足（）。

A.X=0

B.X=?_XX

C.X=c(t)

D.X=g(X,c(t))?_Xc(t)

二、填空题（每题4分，共20分。请将答案填在题后的横线上。）

1.设M是n维光滑流形，c:I→M是M上的光滑曲线，t为参数。如果存在一个非奇异矩阵Ω(t)使得dc/dt=Ω(t)dc/dt，则称c为M上的______。

2.一个光滑曲面的第一基本形式可以表示为______。

3.联络形式ω_X^i(Y,Z)是切空间T_pM上关于向量场X,Y,Z的双线性、反对称形式，其中p为M上的一点。如果ω_X^i=g(X,Y)ω_i^j+g(X,Z)ω_j^k，则称ω_i^j为______。

4.设M是光滑流形，c:I→M是M上的光滑曲线，t为参数。如果c(t)的切向量与曲率向量总是正交，则称c为M上的______。

5.一个光滑曲面的高斯曲率K是______与______的比值的平方。

三、计算题（每题10分，共30分。）

1.设M是三维欧几里得空间R^3，c(t)=(t,t^2,t^3)是R^3上的光滑曲线。计算c(t)在t=1处的曲率κ和挠率τ。

2.设M是二维球面S^2，局部坐标系为(θ,φ)，度量g=dr^2+r^2(dθ^2+sin^2θdφ^2)。计算球面在点(θ,φ)处的Christoffel符号。

3.设M是三维黎曼流形，联络形式ω_i^j=(dx^j/dx^k)ω_k^j，其中dx^i为局部坐标下的基1-形式。计算该联络形式对应的曲率形式Ω_i^j。

四、证明题（每题15分，共30分。）

1.证明：如果一个光滑曲面是可展曲面，则其高斯曲率处处为零。

2.证明：在三维欧几里得空间R^3中，任何测地线都是平面曲线。

试卷答案

一、选择题

1.D

2.A

3.D

4.A

5.B

二、填空题

1.共形曲线

2.g_i^jdx^i\otimesdx^j

3.联络形式

4.哈密顿曲线

5.第二基本形式，第一基本形式

三、计算题

1.解析：计算曲率和挠率需要用到曲线的Frenet标架或曲率张量。首先计算曲线的一阶和二阶导数：

c(t)=(1,2t,3t^2)

c(t)=(0,2,6t)

c(t)=(0,0,6)

在t=1处，c(1)=(1,2,3),c(1)=(0,2,6),c(1)=(0,0,6)。

计算曲率κ：

κ=\|c(t)\timesc(t)\|/\|c(t)\|^3

κ(1)=\|(0,2,3)\times(0,0,6)\|/\|(1,2,3)\|^3

κ(1)=\|(12,0,0)\|/14^3

κ(1)=12/2744=3/693

计算挠率τ：

τ=(c(t)\cdot(c(t)\timesc(t)))/\|c(t)\|^2

τ(1)=(1,2,3)\cdot(12,0,0)/14^2

τ(1)=12/196=3/49

答案：κ(1)=3/693,τ(1)=3/49

2.解析：计算Christoffel符