九年级数学_7　切线长定理.pptxVIP

第三章圆＊7切线长定理

1.定义：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间

的?线段长叫作这点到圆的切线长.2.切线长定理：过圆外一点画圆的两条切线，它们的切

线长?相等.线段长相等

切线长定理延伸【例1】如图，已知PA，PB是☉O的两条切线，A，B为

切点，线段OP交☉O于点M.给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④点M是△AOP外接圆的圆心.

其中正确的说法有（C）A.1个B.2个C.3个D.4个本例中已知的图形是切线长定理的基本图形，图中

包含了很多数量关系和位置关系，除题中的四种说法

外，还能找到三角形全等、等腰三角形三线合一等.C

切线长定理的运用【例2】如图，PA是☉O的切线，切点为A，AC是☉O的

直径，连接OP交☉O于点E.过点A作AB⊥PO于点D，

交☉O于点B，连接BC，PB.（1）求证：PB是☉O的切线；证明：连接OB.∵AC为☉O的直径，∴∠ABC＝90°.∵AB⊥PO，∴PO∥BC，∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC.

∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠C，∴∠AOP＝∠POB.∵OA＝OB，OP是公共边，∴△AOP≌△BOP（SAS），∴∠OBP＝∠OAP.∵PA为☉O的切线，∴∠OAP＝90°，∴∠OBP＝90°，即PB是☉O的切线.

（2）求证：E为△PAB的内心；证明：连接AE.∵PA为☉O的切线，∴∠PAE＋∠OAE＝90°.∵AD⊥ED，∴∠EAD＋∠AED＝90°.∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠AED，∴∠PAE＝∠DAE，即EA平分∠PAD.∵PA，PB为☉O的切线，∴PD平分∠APB，∴E为△PAB的内心.

??

本例综合了切线长定理和三角形的内切圆知识，综

合性较强，可以总结出三种方法：一是证明切线都需要

作半径，再证明垂直；二是证明三角形的内心需要证至

少两条角平分线相交；三是计算线段的长一般都需要运

用三角形的锐角三角函数或相似三角形性质，此例在今

后的学习中可供借鉴.

1.如图，PA，PB与☉O分别相切于点A，B，PA＝2，

∠P＝60°，则AB＝（B）第1题图B

2.如图，AB是☉O的直径，C为☉O外一点，CA，CD

是☉O的切线，A，D为切点，连接BD，AD.若∠ACD

＝48°，则∠DBA的大小是（D）A.32°B.48°C.60°D.66°第2题图D

3.如图是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆

放而成，点A为60°角与直尺交点，点B为光盘与直尺的

唯一交点，若AB＝3，则光盘的直径是（A）第3题图A

4.如图，AB为☉O的直径，点P在AB的延长线上，

PC，PD与☉O相切，切点分别为C，D.若AB＝6，PC

＝4，则sin∠CAD＝（D）第4题图D

??

6.如图，☉O内切于正方形ABCD，O为圆心，作

∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M.若

CM＋CN＝4，则☉O的面积为（D）第6题图D

7.如图，已知射线PO与☉O交于A，B两点，PC，PD

分别切☉O于点C，D.第7题图（1）请写出两个不同类型的正确结论；不同类型的正确结论：①PC＝PD；②∠CPO＝∠DPA；③CD⊥BA；④PC2＝PA·PB.（写出其中两个即可）

?15.

8.如图，☉O的直径AB＝8，AM，BN是它的两条切

线，DE与☉O相切于点E，并与AM，BN分别相交于

D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD＝10，则BF的

长是（A）第8题图A

9.如图，AB为☉O的直径，PA，PC分别与☉O相切于

点A，C，PQ⊥PA，PQ交OC的延长线于点Q.第9题图

（1）求证：OQ＝PQ；证明：连接OP.∵PA，PC分别与☉O相切于点A，C，∴PA＝PC，OA⊥PA.又∵OA＝OC，OP＝OP，∴△OPA≌△OPC（SSS），∴∠AOP＝∠POC.∵QP⊥PA，∴QP∥BA，∴∠QPO＝∠AOP，∴∠QOP＝∠QPO，∴OQ＝PQ.

（2）连接BC并延长交PQ于点D，PA＝AB，且CQ＝

6，求BD的长.解：设OA＝r.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵OB∥QD，∴∠QDC＝∠B.∵∠OCB＝∠QCD，∴∠QCD＝∠QDC，∴QC＝QD＝6.∵QO＝QP，∴OC＝DP＝r.∵PC是☉O的切线，∴OC⊥PC，

?

（广州中考）如图，△ABC的内切圆☉I与BC，CA，AB

分别相切于点D，