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反函数

定义

设函数y=f(x)的定义域是D，值域是f(D)。如果对于值域f(D)中的每一个y，在D中有且只有一个x使得f(x)=y，则按此对应法则得到了一个定义在f(D)上的函数，并把该函数称为函数y=f(x)的反函数，记为

由该定义可以很快得出函数f的定义域D和值域f(D)恰好就是反函数f1的值域和定义域，并且f1的反函数就是f，也就是说，函数f和f1互为反函数，即：

反函数与原函数的复合函数等于x，即：

习惯上我们用x来表示自变量，用y来表示因变量，于是函数y=f(x)的反函数通常写成

??

。

例如，函数

??

的反函数是

??

。

相对于反函数y=f1(x)来说，原来的函数y=f(x)称为直接函数。反函数和直接函数的图像关于直线y=x对称。这是因为，如果设(a,b)是y=f(x)的图像上任意一点，即b=f(a)。根据反函数的定义，有a=f1(b)，即点(b,a)在反函数y=f1(x)的图像上。而点(a,b)和(b,a)关于直线y=x对称，由(a,b)的任意性可知f和f1关于y=x对称。

于是我们可以知道，如果两个函数的图像关于y=x对称，那么这两个函数互为反函数。这也可以看做是反函数的一个几何定义。

在微积分里，f?(n)(x)是用来指f的n次微分的。

若一函数有反函数，此函数便称为可逆的（invertible）。?[1]

存在性

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概述

一函数f若要是一明确的反函数，它必须是一双射函数，即：

（单射）陪域上的每一元素都必须只被f映射到一次：不然其反函数将必须将元素映射到超到一个的值上去。

（满射）陪域上的每一元素都必须被f映射到：不然将没有办法对某些元素定义f的反函数。

若f为一实变函数，则若f有一明确反函数，它必通过水平线测试，即一放在f图上的水平线

??

必对所有实数k，通过且只通过一次。?[1]

反函数存在定理

定理：严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同。

在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。

设y=f(x)的定义域为D，值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2，当x1x2时，有y1y2，则称y=f(x)在D上严格单调递增；当x1x2时，有y1y2，则称y=f(x)在D上严格单调递减。

证明：设f在D上严格单增，对任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。

而由于f的严格单增性，对D中任一xx，都有yy；任一xx，都有yy。总之能使f(x)=y的x只有一个，根据反函数的定义，f存在反函数f1。

任取f(D)中的两点y1和y2，设y1y2。而因为f存在反函数f1，所以有x1=f1(y1)，x2=f1(y2)，且x1、x2∈D。

若此时x1≥x2，根据f的严格单增性，有y1≥y2，这和我们假设的y1y2矛盾。

因此x1x2，即当y1y2时，有f1(y1)f1(y2)。这就证明了反函数f1也是严格单增的。

如果f在D上严格单减，证明类似。?[1]

性质

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（1）函数f(x)与它的反函数f1(x)图象关于直线y=x对称；

函数及其反函数的图形关于直线y=x对称

（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；

（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；

（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)，定义域是{0}且f(x)=C（其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0}）。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

（5）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；

（6）严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数；

（7）反函数是相互的且具有唯一性；

（8）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；

（9）反函数的导数关系：如果x=f(y)在开区间I上严格单调，可导，且f(y)≠0，那么它的反函数y=f1(x)在区间S={x|x=f(y),y∈I}内也可导，且：

（10）y=x的反函数是它本身。?[1]

反函数的符号

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反函数的符号记为f?1(x)，在中国的教材里，反三角函数记为arcsin、arccos等等，但是在欧美一些国家，sinx的反函数记为sin1(x)。

x1表示1/x，那么f1(x)与这是否有些关系呢？下面举几个例子来说明这点。当然，f1(x)肯定和1/f(x)不等，但是确实有与之很相近的性质。

（1）反函数的反函数

为了好看以及对比，我有时会把f(x)写成f对比，我把我想各位应该很好理解，反函数的反函数当然就是原函数，写成数学语言