高考数学导数专项复习之利用导数研究不等式恒成立问题（原卷版）.pdfVIP

专题12利用导数研究不等式恒成立问题

不等式恒成立问题的基本类型

类型i：任意X,使得/U)0,只需y(X)min0.

类型2：任意X,使得/u)v,只需y(X)max0.

类型3：任意弟使得ZU)A，只需k.

类型4：任意X,使得/U)vz,只需,/(X)maxk.

类型5：任意X,使得«X)g(X)，只需〃(X)min—[/(X)—g(X)]min0.

类型6：任意X,使得/U)g(X),只需/za)max=[/*)-g(X)lmaxVO.

(1)构造函数分类讨论：遇到人X)2g(X)型的不等式恒成立问题时，•般采用作差法，构造“左减右”的函数

h(X)=J(X)-g(X)或“右减左”的函数“t)=g(©—yU),进而只需满足/?(X)min20或，G)maxWO,将比较法的

思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论.

(2)分离函数法：分离参数法的主要思想是将不等式变形成一个i端是参数”，另一端是变量表达式。(工)的不

等式后，应用数形结合思想把不等式恒成立问题转化为水平直线)，=〃与函数)，=8/)图象的交点个数问题来

解决.

可化为不等式恒成立问题的基本类型

类型1：函数/U)在区间。上单调递增，只需r(x)2.

类型2：函数危0在区间O上单调递减，只需f(x)WO.

类型3：VXI,X2^D,/3)g(X2),只M/a)ming(X)max.

类型4：VxieDi,3x2e£2,危i)g(i2)，只需/Wmmg(x)min.

类型5：Vxi^Di,3x2eD2,凡Tl)Vg(X2),只需几r)maxVga)max.

(l)Vxi3x2^D,_/Ul)g(l2)，等价于函数,)在Ql上的最小值大于g(x)在及2上的最小值

即A¥)ming(X)min(这里假设7U)min,g(%)min存在).其等价转化的基本思想是：函数y=fix)的任意一个函数值

大干函数y=g(x)的某一个函数值，但并不要求大于函数y=g(x)的所有函数值.

1

(2)\/用£。1,3x2^£2,yUi)Vg(i2),等价于函数/(X)在Di上的最大值小于函数g(x)在£)2上的最大值(这里

假设凡6nm，g(x)max存在).其等价转化的基本思想是：函数丁=/(幻的任意-一个函数值小于函数)=g(x)的某

一个函数值，但并不要求小于函数丁=双力的所有函数值.

典例1.已知函数,/(x)=at+lnx+l,若对任意的％0,_/U)Sve2A恒成立，求实数。的取值范围.

典例2.设函数X，v)=Inx+二,%£R.

(1)若曲线，=/)在点化，A⑼处的切线与直线X—2=0垂直，求儿¥)的单调性和极小值(其中e为自然对数的

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底数)；

(2)若对任意的X|X20，411)—/：X2)〈X1—也恒成立，求女的取值范围.

典例3.已知函数人工)=¥+/+以.

(1)若函数7U)在区间[1,+8)上单调递增，求实数4的最小值；

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