多元函数微分法习题课：极限与连续性分析.pdfVIP

一、基本概念

1.多元函数的定义、极限、连续

•定义域及对应规律

•判断极限不存在及求极限的方法

•函数的连续性及其性质

2.几个基本概念的关系

连续性偏导数存在

方向导数存在可微性

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思考与练习

1.讨论二重极限时,下列算法是否正确?

1

解法1原式lim0

11

x→0+

y→0yx

解法2令ykx,

解法3令xrcos,yrsin,

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分析

1

解法1lim0

11

x→0+

y→0yx

此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况,第二步

未考虑分母变化的所有情况,x11

例如,yx时,+1,

−1yx

此时极限为1.

解法2令ykx,



此法排除了沿曲线趋于原点的情况.例如yx2−x时

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解法3令xrcos,yrsin,



此法忽略了的任意性,

极限不存在!

由以上分析可见,三种解法都不对,因为都不能保证

自变量在定义域内以任意方式趋于原点.同时还可看到,

本题极限实际上不存在.

特别要注意,在某些情况下可以利用极坐标求极限,

但要注意在定义域内r,的变化应该是任意的.

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2.证明x2y23,x2+y20

f(x,y)(x2+y2)2

22

0,x+y0

在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微.

提示:利用2xyx2+y2,知

f(x,y)1(x2+y2)12