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第17讲选择性必修第二册第6章计数原理
6.1乘法原理与加法原理
1.乘法原理
分步计数原理：做一件事，完成它需要分成个子步骤，做第一个步骤有种不同的方法，做第二个步骤有种不同方法，……，做第个步骤有种不同的方法．那么完成这件事共有种不同的方法．又称乘法原理．
2.加法原理
分类计数原理：做一件事，完成它有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种方法，……，在第类办法中有种不同的方法．那么完成这件事共有种不同的方法．又称加法原理．
3.加法原理与乘法原理的综合运用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．
【注意】
【注意】
应用两个计数原理的关键是分清“步”与“类”.完成一件事需要若干步，而每一步缺一不可，则符合乘法原理，需要注意“步”与“步”之间的连续性；完成一件事有若干类方法，每类方法能独立完成这件事，则符合加法原理，需要注意“类”与“类”之间的独立性和等效性.
例：在狂欢节上，有六名同学想报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，每个项目都有人报名，则共有___120______种不同的报名方法．
解：每个项目都有人报名，则第一个项目有6种报名方法，第二个项目有5种报名方法，第三个项目有4种报名方法，根据分步计数原理知共有种不同的报名方法，
练1：用1、2、3三个数字能组成不同三位数的个数是________（结果用数字作答）
解每个数位有3种方法，所以由1、2、3三个数字能组成不同三位数的个数是.
练2：甲?乙?丙三个人玩“剪刀?石头?布”游戏一次游戏中可以出现的不同结果数为______种.
解：根据分步乘法计数原理可知，一共可以出现的不同结果数为种，
练3：360的正约数共有___________个.
解:，正约数个数为．
练4：个人排成一个n行，n列的方阵，现要从中选出n个代表，要使得每一行，每一列都有代表，则有___________种不同的选法.
解:从第行中选取一个代表，选法有种，
从第行中选取一个代表，为保证每一列都有代表，选法有种，
从第行中选取一个代表，为保证每一列都有代表，选法有种，
从第行中选取一个代表，为保证每一列都有代表，选法有种，
由分步乘法计数原理可知，不同的选法数有：，
练5：学校组织春游活动，每个学生可以选择去四个地方：崇明?朱家角?南汇和嘉定，有四位同学恰好分别来自这四个地方，若他们不去家乡，且分别去了不同地方，则四位同学去向的所有可能结果数为___________.
解：设甲、乙、丙、丁四位同学的家乡分别表示为，
当甲去时，可能的情况有：，，；
当甲去时，可能的情况有：，，；
当甲去时，可能的情况有：，，；
所以四位同学的去向一共有种，
故答案为：.
练6：一次，齐王与大将田忌赛马．每人有四匹马，分为四等．田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序依次为一等，二等，三等，四等，而且还知道这八匹马跑的最快的是齐王的一等马，接着依次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等，自己的四等．田忌有___12_____种方法安排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛．
练7：由正方体的8个顶点可确定多少个不同的平面？
解：分为两种情况：一、四个点所确定的面有12个；二、三个点确定的面有8个.
练8：某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2菜2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种_____________种．
解：从5种荤菜中选2种有10种放法，不妨设有种素菜，则选出两种素菜的方法有种，所以有，可得的最小值为7．
6.2排列
1.排列：
一般地，从个不同元素中取出()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。
注意以下几点：
（1）元素不能重复。个中不能重复，个中也不能重复；
（2）“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键；
（3）两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。
2.排列数：
从个不同的元素中取出()个元素的所有排列的个数，叫做从个不同的元素中取出个元素的排列数。用符号表示。
思考：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？
“一个排列”是指：从个不同元素中，任取个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数；
“排列数”是指从个不同元素中，任取个元素的所有排列的个数，是一个数；所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列。
3.排列数公式：
当时，，正整数1到的连乘积
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