第20讲 第十章 空间直线与平面习10.4（教师版）.docxVIP

第十章空间直线与平面10.4直线与平面的位置关系

10.4.1平面与平面平行

1.两个平面的位置关系：

两平面平行；α∥β；

两平面相交；α∩β＝l；

2.平面与平面平行的判定定理：

如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，

则这两个平面平行；

a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?β∥α；

3.两个平面平行的性质定理；

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b；

4.两个平行平面之间的距离：

若设平面α平行于平面β，在平面α上任取一点M，我们把点M，到平面β的距离叫做平面α和平面β点之间的距离；

10.4.2二面角

5.二面角的定义：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．

这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面；

二面角的平面角的定义：在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角；

二面角的平面角θ的取值范围为0o≤θ≤180o；或θ∈[0，π]；

6.直二面角：把平面角是直角的二面角叫做直二面角；

7.两个平面互相垂直：当两个平面相交所成的二面角是直二面角时，我们就说这两个平面互相垂直；

8.平面与平面垂直的判定定理：

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直

若l??,lβ，则??β;9、平面与平面垂直的性质定理：

如果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于交线的直线与另一个平面垂直；

若??β，?∩β=l，m?，且m?l；则m?β；

【重要结论】

1.垂直于同一条直线的两个平面平行，即“若a⊥α，a⊥β，则α∥β”．

2.垂直于同一个平面的两条直线平行，即“若a⊥α，b⊥α，则a∥b”．

3.平行于同一个平面的两个平面平行，即“若α∥β，β∥γ，则α∥γ”．

4.一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．

5.若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．

6.若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．

7.一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．

练习

1.判断下列命题真假（在括号内，真命题打“√”或假命题“×”）

①如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；（）

②如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面；（）

③垂直于同一个平面的两平面平行；（）

④若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β；（）

⑤两垂直的平面的二面角的平面角大小为90°；（）

【答案】①×；②√；③×；④×；⑤√；

【解析】对于①，如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交；所以，①是假命题；

对于②，结合平面与平面平行的定义，从集合视角理解空间点、线、面位置；所以，②是真命题；.

对于③，由于垂直于同一个平面的两个平面平行或相交；所以，③是假命题；

对于④，若平面α内的一条直线垂直于平面β内的所有直线，则α⊥β；所以，④是假命题；

对于⑤，由定义都是充要条件得⑤是真命题；

2.设α，β是两个不同的平面，m是直线且m?α，则“m∥β”是“α∥β”的()

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B；

【解析】根据m?α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，

只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；

反之，α∥β，m?α，所以m和β没有公共点，所以m∥β，

即由α∥β能得到m∥β，所以“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件；

3.已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列命题是真命题的序号是

①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n

②若m∥α，n∥β，且α⊥β，则m∥n

③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n

④若m⊥α，n∥β，且α⊥β，则m⊥n

【答案】③

【解析】由m∥α，n∥β，且α∥β，得m∥n或m与n相交，或m与n异面，故①是假命题；

由m∥α，n∥β，且α⊥β，得m∥n或m与n相交或m与n异面，故②是假命题；

由m⊥α，α∥β，得m⊥β，又n∥β，则m⊥n，故③是真命题；

由m⊥α，n∥β且α⊥β，得m∥n或m与n相交或m与n异面，故④是假命题；

【说明】解决空间中线面、面面垂直的问题有以下三种方法：

1、依据相关定理得出结论；

2、结合符合题意的模型(如构造正方体、长方