第八章数值优化.pptVIP

8.1.2利用导数求极小值设f(x)在区间[a,b]上是（下）单峰的，并在x=p处有唯一极小值。并设f’(x)在(a,b)上所有的点处有定义。令初始点p0在(a,b)内。若f’(p0)0，则极小值点p在p0右侧；若f’(p0)0，则极小值点p在p0左侧。ap0pby=f(x)ap0pby=f(x)第21页，共65页，星期日，2025年，2月5日1.对极小值分类首先求出三个测试值p0,p1=p0+h,p2=p0+2h,使得f(p0)f(p1),f(p1)f(p2)成立若f’(p0)0,则p0p，且应该选择步长h0若f’(p0)0,则p0p，且应该选择步长h0容易找到h，使三点p0,p1=p0+h,p2=p0+2h满足要求。如有a+1b，则令h=(+/-)1，否则令h=(+/-)1/2，依此类推。第22页，共65页，星期日，2025年，2月5日寻找过程（设f’(p0)()0）若满足f(p0)f(p1),f(p1)f(p2)则结束若f(p0)f(p1)且f(p1)f(p2)，则说明p2()p。则需检测更靠右(左)的点。步长加倍，并重复检测过程若f(p0)≤f(p1)，表明h太大，p1已经跳过了p。则需检测更靠近p0的点。步长减半，并重复检测过程第23页，共65页，星期日，2025年，2月5日2.求极小值p的二次逼近方法由p0,p1=p0+h,p2=p0+2h，可用二次插值来求p的近似值pmin。基于三点的拉格朗日多项式为其中yi=f(pi),i=0,1,2.Q(x)的导数为以Q’(p0+hmin)的形式求解Q’(x)=0，得第24页，共65页，星期日，2025年，2月5日将上式中的各项乘以2h2，并合并包含hmin的项，得由上式解得值pmin=p0+hmin比p0更逼近p，因此可用pmin代替p0，并重复上述计算过程，求出新的h和新的hmin。重复这一迭代过程，直到得到所需的精度。第25页，共65页，星期日，2025年，2月5日8.1单变量函数的极小值8.2内德-米德方法和鲍威尔方法8.3梯度和牛顿方法目录第26页，共65页，星期日，2025年，2月5日多元函数求极值的问题设函数f(x1,x2,…,xN)定义在区域上。如果f(p1,p2,…,pN)≤f(x1,x2,…,xN)对所有的点(x1,x2,…,xN)∈R都成立，则函数f(x1,x2,…,xN)在点(p1,p2,…,pN)处有局部极小值；如果f(p1,p2,…,pN)≥f(x1,x2,…,xN)对所有的点(x1,x2,…,xN)∈R都成立，则函数f(x1,x2,…,xN)在点(p1,p2,…,pN)处有局部极大值。第27页，共65页，星期日，2025年，2月5日二元函数的极小值问题二元函数的图形是一个几何表面定理8.5（二阶偏导数测试）设f(x,y)及其一阶和二阶偏导数在区域R上连续。设点(p,q)∈R是一个临界点，即fx(p,q)=0且fy(p,q)=0。可用高阶偏导数来确定临界点的属性。第28页，共65页，星期日，2025年，2月5日若且fxx(p,q)0，则f(p,q)是f的局部极小值。若且fxx(p,q)0，则f(p,q)是f的局部极大值。若，则f(x,y)在(p,q)没有局部极值。若，则结果不确定。例8.5第29页，共65页，星期日，2025年，2月5日多元函数的直接有哪些信誉好的足球投注网站法多变量目标函数f(x1,x2,…,xN)的极值直接有哪些信誉好的足球投注网站法对函数的可微性不作显性或隐性的假设对非光滑（不可微）目标函数而言，直接方法特别有用内德－米德方法和鲍威尔方法第30页，共65页，星期日，2025年，2月5日单纯形方法的基本思想内德和米德提出了单纯形法，可用于求解多变量函数的局部极小值从可行域中的一个基本可行解出发，判断它是否已是最优解，若不是，寻找下一个基本可行解，并使目标函数得到改进，如此迭代下去，直到找出最优解或判定问题无解为止。从另一个角度说，就是从可行域的某一个极点出发，迭代到另一个极点，并使目标函数的值有所改善，直到找出有无最优解时为止。第31页，共65页，星