等式性质与不等式性质-课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册.pptxVIP

2.1等式性质与不等式性

质

b

1比较两数(式)的大小

2重要不等式

3不等式的性质

00引入课题

重与轻长与短高与矮

在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，

例如多与少、大与小、重与轻、长与短、高与矮、远与近、升与

降、涨与跌、不超过和不少于等。类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等式表示，不等用不等式表示。

1比较两数(式)的大小

(1)某路段限速40km/h;0V≤40

(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不小于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%;

(3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；

(4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

问题2你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗?

CDCE

文字

语言

大于

大于

等于

小于

小于

等于

至多

至少

不少于

不多于

符号

语言

≥

≤

≤

≥

≥

实数与数轴上的点一一对应，且从左到右依次增大。

问题2常见的不等关系下列，你能用文字语言和符号语言表述吗?

C

→a-b0

a-b=0

a-b0

新知1—比较两数(式)的大小

1.两实数太小关系的基本事实

0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”.

ab

a=bab

作差法

X

X

义

A(B)

a(b)

b

B

A

a

B

b

A

a

例1.已知d1,比较与1-a的大小关系?

解：Qak1,:a+10,a≥0,∴

和=√a-√a-的大小.

解：因为a≥1,所以√a+1-√a0,√a-√a-10,

例2.已知a≥1,试比较

作商法

所以MN

练一练

例3.比较(x-3)²与(x-2)(x-4)的大小.

解：

(x-3)²-(x-2)(x-4)=x²-6x+9-x²+6x-8=10

所以(x-3)²(x-2)(x-4)

解：

∵(a²+b²-ab)-ab=a²+b²-ab-ab

=a²-2ab+b²=(a-b)²≥0

∴(a²+b²-ab)≥ab

(当且仅当a=b时等号成立)

例4设a、b均为实数，试比较a²+b²-ab与ab的大小.

2重要不等式

如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会

标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.你能在这个图中

找出一些相等关系和不等关系吗?

A

新知探究

将图2.1-3中的“风车”抽象成图2.1-4.在正方形ABCD中

有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边的长为a,

b(a≠b),那么正方形的边长为√a²+b².这样，4个直角三角形

的面积和为2ab,正方形的面积为a²+b².由于正方形ABCD的面

积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式

a²+b²2ab.

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有

a²+b²=2ab.

于是就有a²+b²≥2ab.

C

A

B

图2.1-4

新知2——重要不等式

由前面的例4可知，利用完全平方公式，得

a²+b²-2ab=(a-b)²

对Va,b∈R,(a-b)²≥0,当且仅当a=b时，等号成立.

所以a²+b²-2ab≥0.

3不等式的性质

问题3在初中阶段我们学习了不等式的基本性质，你还记得吗?

1.不等号的两边同时加上(或减去)同一个数，不等号开口方向不变。

2.不等号的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号开口方向不变。

3.不等号的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号开口方向改变。

还有其他性质吗

②如果ab,c0,那么acbc或

3、性质3(传递性)如果ab,bC,那么aC

4、性质4(对称性)ab一ba

5、性质5(可移性)a+bC⇔aC-b

新知3——不等式的性质

1、性质1(可加性)如果ab,那么a±cb±c

2、性质2(可乘性)

①如果ab,c0,那么acbc或

Ca一

b一C

b

C

C

D-

03新知3——不等式的性质

6、性质6(同向可加性)如果ab,cd,那么a+cb+d

7、性质7(同向同正可