第七章 平行线中的拐点模型（5大模型）（解析版）.docxVIP

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第七章平行线中的拐点模型

目录

【模型总结】

模型1：猪蹄模型（M型）与锯齿模型

模型2：铅笔头模型

模型3：牛角模型

模型4：羊角模型

模型5：蛇形模型（“5”字模型）

【模型总结】

模型1：猪蹄模型（M型）与锯齿模型

【模型解读】

图1图2图3

如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.

如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.

如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.

【模型证明】

（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM，

∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，

∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．

（2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，

故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，

（3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1

故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1

例题：（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，求的度数．

【答案】

【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质求角度

【分析】此题考查了平行线的判定与性质．分别过，点G，F，E作，结合垂直定义，根据平行线的判定与性质求解即可．

【详解】解：如图，分别过点G，F，E作．

∵，

∴．

∴．

∵，

∴．

∵，

∴．

∴．

∴，

∴．

巩固训练

1．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点．

(1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由．

(2)如图b，当动点P线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由．

【答案】(1)，理由见解析

(2)不成立，，理由见解析

【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质探究角的关系

【分析】本题考查了平行线的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键．

（1）过点作，则，则，，再根据角度和差计算求解即可；

（2）同（1）即可求解．

【详解】（1）解：，理由如下，

过点作，

，

，

，，

，

．

（2）解：上述结论不成立．新结论：，理由如下：

过点作．

，

∴

，

，

，即．

2．（23-24七年级下·黑龙江鹤岗·期末）如图1，已知，求证：；小明想到了以下方法，请帮助他完成证明过程：

证明：

(1)如图1，过点作，则___________．（????????）

，

__________（????????????）

____________（????????）

又，

．

(2)如图2，，请写出的和并说明理由；

(3)如图3，，请直接写出图3中的和．

【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；；平行于同一直线的两条直线平行；；两直线平行，内错角相等

(2)，理由见解析

(3)

【知识点】根据平行线判定与性质证明

【分析】本题考查了平行线的性质与判定，平行公理的应用，正确的添加辅助线是解题的关键．

（1）如图1，过点作，则，证明，可得，再结合角的和差运算可得答案；

（2）过点作，证明，可得，结合，从而可得答案；

（3）过点分别作，可得，再利用角的和差关系可得结论．

【详解】（1）证明：如图1，过点作，则（两直线平行，内错角相等），

，

（平行于同一直线的两条直线平行）．

（两直线平行，内错角相等）．

又，

；

故答案为：；两直线平行，内错角相等；；平行于同一直线的两条直线平行；；两直线平行，内错角相等；

（2）解：，

理由如下：

过点作，

，

（平行于同一直线的两直线互相平行），

（两直线平行，同旁内角互补），

又，

；

（3）解：如图：过点分别作，而，

，

，

．

3．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图①，，试问与的关系是什么？并说明理由；

（2）如图②，，试问与的关系是什么？请直接写出结论；

（3）如图③，，试问与的关系是什么？请直接写出结论．

【答案】（1），见解析；（2）；（3）

【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、平行公理的应用

【分析】此题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

（1）过点作，从而推出，根据两直线平行，内错角相等，可知，，从而推出与的关系；

（2）分别过点