第8章 最优消费和投资离散时间.pptVIP

第29页，共61页，星期日，2025年，2月5日最优化的一阶条件：第30页，共61页，星期日，2025年，2月5日根据上式中的第二个一阶条件，第一个一阶条件又可以表示为：第31页，共61页，星期日，2025年，2月5日如果用T-1期的价值函数（2-6）式对W做微分（使用连锁法则和导数基本运算法则），就有：

第32页，共61页，星期日，2025年，2月5日第33页，共61页，星期日，2025年，2月5日它的经济学含义就是：在消费者均衡时，当期消费的边际效用就等于财富（未来消费）的边际效用。当期消费与投资比例的选择既影响生活质量U1（C），也影响投资预算基金的数量。当前每增加一单位的消费就减少可投资的财富，因而获得时际最优的标准条件就是消费的边际效用等于财富的边际效用。而且根据上式容易知道，因为UCC0，所以有JWW0，因此J是财富的严格凹函数。第34页，共61页，星期日，2025年，2月5日第35页，共61页，星期日，2025年，2月5日可以继续对倒数第二期做类似的工作，这时的价值函数为：第36页，共61页，星期日，2025年，2月5日把这一个重复（recursive）过程递推到T-3、T-4，?，t时期。根据最优化原理，在t期价值函数的一般形式是：第37页，共61页，星期日，2025年，2月5日类似地可以获得n+1个一般最优化条件（generaloptimalitycondition）：第38页，共61页，星期日，2025年，2月5日把它们代入价值函数并求解，就可以得出J[W(t),t]。如此这般反复，叠代到最后的0时期，问题就彻底解决了。回顾前一章中的静态问题，可以发现在静态模型中，个人以最大化期末财富为惟一目标，效用函数是外生的，且仅仅包含期末财富这一个变量（如最大化二次效用，进而导出均方原则）。而在跨期模型中的（期间）财富的效用函数是内生、引至的。不仅如此，它还取决于状态变量S(t)。第39页，共61页，星期日，2025年，2月5日特殊形式的效用函数:对数效用函数效用函数第40页，共61页，星期日，2025年，2月5日根据（2-6）式,T-1时期的价值函数就是：第41页，共61页，星期日，2025年，2月5日注意?上面的T-1是指T-1到T这一个时间段；而且以上W、w*和C*均为T-1时期的数值，化简得

第42页，共61页，星期日，2025年，2月5日结论1：我们看到在对数效用函数这样一个特例中，最优消费水平是独立于资产收益条件（投资机会）的，消费随着财富水平的增加而递增，随着贴现因子的增加而减少。如果消费者时间偏好为0，即?=1，这就是说投资者对于同等数量的当前消费和未来消费是无差异的。则他会把财富的一半用于当期消费，而另一半作为投资（或者遗产）。如果他有正的时间偏好，即??1，则他会消费得更多一些。第43页，共61页，星期日，2025年，2月5日第8章最优消费和投资离散时间第1页，共61页，星期日，2025年，2月5日第2页，共61页，星期日，2025年，2月5日基本分析框架典型消费者个人将生存一段时期[0,T]，他会有一个大于0的初始财富或者说资源禀赋W(0)；在生存过程中，他会获得一些非资本（non-capital）收入?(t)（例如工资）；在生存的每一天中，他必须决定把可供支配的财富（资源），用于当前消费C和投资积累I上（投资将提供下一时刻的资本收入）；在最后时刻留下一部分遗产W(T)给后人。这时，两个基本选择问题，即消费多少（也就是投资多少）和如何投资（资产组合），必须同时被决定。消费者这种不断的选择行为的目的就是使得他们终身效用最大化。第3页，共61页，星期日，2025年，2月5日目标函数其中T是投资者的寿命；C(t)是投资者年龄为t时选择的消费数量；W(t)是t时刻的财富（或者遗产）；Et(.)t是基于t时刻所有已经揭示出的信息的条件期望算子。Ut[C(t),t]是效用函数，在整个定义域内，它被假定是单调递增和凹的；U2[W（T），T]是基于期末财富或者说遗产的效用函数（bequestvaluationfunction），它也是单调递增和凹的。第4页，共61页，星期日，2025年，2月5日约束条件其中?就是非资本收入，广义上I泛指各种投资，但这里实际上仅仅包括对市场上可交易的有价证券的投资。经济体系中的风险，就源自于非资本收入和投资机会集合（investmentopportunityset）（也即资本收入）的不确定性。第5页，共61页，星期日，2025年，2月5日第6页，