2025北京高一（上）期末数学汇编：向量的数量积与三角恒等变换章节综合（人教B版）.docx

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2025北京高一（上）期末数学汇编

向量的数量积与三角恒等变换章节综合（人教B版）

一、单选题

1．（2025北京清华附中高一上期末）已知，则（????）

A． B． C． D．

2．（2025北京人大附中高一上期末）已知x，y为非零实数，向量，为非零向量，则“”是“存在非零实数x，y，使得”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．（2025北京清华附中高一上期末）如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一点（含端点A，B），若，则的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

二、填空题

4．（2025北京人大附中高一上期末）在平行四边形中，已知，，为坐标原点，则顶点的坐标为，平行四边形的面积是．

5．（2025北京清华附中高一上期末）已知单位向量夹角为，若，则实数.

6．（2025北京延庆高一上期末）已知，，则的最大值为，最小值为.

7．（2025北京西城高一上期末）已知正方形的边长为，点满足，则．

8．（2025北京二中高一上期末）已知，其中，则，.

9．（2025北京首师大附中高一上期末）已知向量，，若，则向量的模为．

10．（2025北京二中高一上期末）；

三、解答题

11．（2025北京清华附中高一上期末）已知函数.

(1)若函数的两条相邻对称轴之间的距离为，求的值；

(2)若函数在上的值域为，求的取值范围.

12．（2025北京密云高一上期末）已知，.

(1)求的值；

(2)求的值；

(3)将的终边绕原点按逆时针方向旋转后得到角的终边，求的值．

13．（2025北京二中高一上期末）已知函数，

(1)求函数的单调递增区间；

(2)求在上的最小值和最大值及相应自变量x的值.

14．（2025北京二中高一上期末）化简下列各式:

(1);

(2).

15．（2025北京房山高一上期末）已知向量，．

(1)求；

(2)若向量满足，求向量；

(3)在（2）的条件下，若，求实数的值.

16．（2025北京朝阳高一上期末）已知函数．

(1)求的值及的最小正周期；

(2)求的单调递增区间．

17．（2025北京朝阳高一上期末）已知，是方程的两个实数根.

(1)求实数的值；

(2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的值.

条件①：；

条件②：；

条件③：为第四象限角.

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

参考答案

1．B

【分析】利用二倍角公式及三角函数的商数关系计算即可.

【详解】由已知可得.

故选：B

2．A

【分析】化简得到得到，共线且方向相同，存在非零实数x，y，使得得到，共线，得到答案.

【详解】，故，整理得到，即，

故，共线且方向相同，

存在非零实数x，y，使得，故，共线，

即“”是“存在非零实数x，y，使得”的充分不必要条件.

故选：A.

3．D

【分析】根据题意可得出，然后根据向量的运算得出，从而可求出答案.

【详解】因为点C为的中点，，所以，

所以

，

因为点M为线段AB上的一点，所以，所以，

所以的取值范围是,

故选：D.

4．4

【分析】设，由求解；先利用数量积求得，再由平行四边形的面积是求解.

【详解】解：设，

由题意得：，

所以，

所以；

又，

所以，

所以平行四边形的面积是.

故答案为：，4

5．2

【分析】根据数量积的运算律计算求解．

【详解】由题意，，

故答案为：2.

6．62

【分析】设的夹角为，对平方再开方，根据可得答案.

【详解】设的夹角为，则，

因为，，所以

，

因为，所以，

所以，

即，

所以的最大值为6，最小值为2.

故答案为：①6；②2.

7．

【分析】由题意可得，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.

【详解】由题意可得，，

因为，

所以，，

所以，，故.

故答案为：.

8．

【分析】（1）利用诱导公式求解；

（2）利用二倍角的正弦公式求解.

【详解】因为，

所以，

因为，

所以，，

所以

，

，

，

故答案为：，

9．10

【分析】根据向量平行的坐标表示得到，然后根据向量模的定义求出向量的模.

【详解】∵，∴，解得，

∴，∴.

故答案为10

【点睛】本题考查求向量的模，熟记向量共线的坐标表示，以及向量模的坐标表示即可，属于基础题型．

10．/.

【分析】逆用差角的余弦公式解答.

【详解】原式

故答案为：

11．(1)；

(2).

【分析】（1）由三角恒