2023-2025北京高中合格考数学汇编：立体几何初步章节综合.docx

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2023-2025北京高中合格考数学汇编

立体几何初步章节综合

一、单选题

1．（2023北京高中合格考）已知三棱柱的体积为12，则三棱锥的体积为（????）

A．3 B．4 C．6 D．8

2．（2023北京高中合格考）四棱锥如图所示，则直线PC（????）

A．与直线AD平行 B．与直线AD相交

C．与直线BD平行 D．与直线BD是异面直线

3．（2024北京高中合格考）在空间中，若两条直线与没有公共点，则a与b（????）

A．相交 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线

4．（2024北京高中合格考）如图，在正方体中，为的中点.若，则三棱锥的体积为（????）

A．2 B．1 C． D．

5．（2025北京高中合格考）若a，b是空间中的两条直线，则“a，b异面”是“a，b没有公共点”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

二、填空题

6．（2023北京高中合格考）如图，在正方体中，是正方形ABCD及其内部的点构成的集合．给出下列三个结论：

①，；

②，；

③，与不垂直．

其中所有正确结论的序号是．

7．（2023北京高中合格考）阅读下面题目及其解答过程．

如图，在直三棱柱中，，D，E分别为BC，的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：．

解：（1）取的中点F，连接EF，FC，如图所示．

在中，E，F分别为，的中点，

所以，．

由题意知，四边形为①．

因为D为BC的中点，所以，．

所以，．

所以四边形DCFE为平行四边形，

所以．

又②，平面，

所以，平面．

（2）因为为直三棱柱，所以平面ABC．

又平面ABC，所以③．

因为，且，所以④．

又平面，所以．

因为⑤，所以．

以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理．请选出符合逻辑推理的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）．

空格序号

选项

①

A．矩形?????????????????B．梯形

②

A．平面???B．平面

③

A．???????????B．

④

A．平面???B．平面

⑤

A．???????????B．

8．（2025北京高中合格考）如图，在三棱锥中，，，两两互相垂直，，则是三角形.（填“锐角”“直角”或“钝角”）

三、解答题

9．（2024北京高中合格考）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，E为的中点.

(1)求证：平面；

(2)求证：平面.

10．（2025北京高中合格考）如图，在正方体中，点在上.

(1)求证：；

(2)求证：平面.

参考答案

1．B

【分析】由棱锥体积公式可知，棱锥的体积是等底等高的棱柱体积的，计算即可.

【详解】三棱锥与三棱柱等底等高，则三棱锥的体积是三棱柱体积的，即三棱锥的体积为4.

故选：B

2．D

【分析】根据异面直线的定义即可求解.

【详解】根据异面直线的定义，不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线，可以判断直线PC与直线AD、直线BD是异面直线.

故选：D.

3．D

【分析】根据空间直线的位置关系判断，即可得答案.

【详解】由题意知在空间中，两条直线与没有公共点，即与不相交，

则a与b可能平行，也可能是异面直线，

故选：D

4．D

【分析】直接利用棱锥的体积公式计算.

【详解】因为面

所以.

故选：D.

5．A

【分析】由空间中两直线的位置关系结合充分条件与必要条件的定义即可得解.

【详解】空间中的两条直线a，b异面，则a，b没有公共点，

反之，空间中的两条直线a，b没有公共点，则不一定得到a，b异面，也可能a，b是平行直线，

所以“a，b异面”是“a，b没有公共点”的充分不必要条件.

故选：A.

6．①②③

【分析】

（1）平面，即可判断①；（2）利用平行四边形的性质证明线线平行，即可判断；（3）利用线面垂直的判定证明平面，过作平面的平行面与平面的交线在正方形ABCD外，即可判断.

【详解】对于①，平面，，，故①正确；

对于②，当到达点时，，,是平行四边形，,,，，故②正确；

对于③，平面

过作平面的平行面与平面的交线在正方形ABCD外，

，与不垂直,故③正确.

故答案为：①②③.

7．（1）①A；②A；（2）③B；④A；⑤B

【分析】根据逻辑推理过程，结合直棱柱的性质、线面平行（垂直）的判定或性质确定各空格应补充的条件.

【详解】①根据直棱柱的结构特征及给定的条件知：结论为四边形为矩形，填A；

②由线面平行的判定条件，条件中缺平面，填A；

③由线面垂直的性质知：结论为，填B；

④由线面垂直的判定知：结论为平面，填A；

⑤根据及所得结论为，条件应为，填B.

故