教学建议时基本不等式的综合应用.docVIP

第2课时基本不等式的综合应用

学习目标

核心素养

1.会用基本不等式求函数的最大(小)值问题．(重点)

2．能利用基本不等式解决实际应用问题．(难点)

1．通过基本不等式求函数最值的应用，提升数学运算素养．

2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养．

已知x、y都是正数，

(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值eq\f(s2,4)；

(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，x＋y取得最小值2eq\r(p).

上述命题可归纳为：和定积最大，积定和最小．

思考：(1)两个非负数的积为定值，它们的和一定可以用基本不等式求最小值吗？

(2)两个非负数的和为定值，它们的积一定可以用基本不等式求最大值吗？

提示：(1)不一定，例如a2＋2与eq\f(1,a2＋2)，它们的积为定值，但等号取不到，因此不能用基本不等式求最小值．

(2)不一定，例如1＋a2与1－a2，它们的和为定值，但等号取不到，因此不能用基本不等式求最大值．

1．若a＞1，则a＋eq\f(1,a－1)的最小值是()

A．2B．aC．eq\f(2\r(a),a－1)D．3

D[∵a＞1，∴a－1＞0，∴a＋eq\f(1,a－1)＝a－1＋eq\f(1,a－1)＋1≥2eq\r(（a－1）·\f(1,a－1))＋1＝3.当且仅当a－1＝eq\f(1,a－1)，即a＝2时，等号成立．]

2．设x＞0，则y＝3－3x－eq\f(1,x)的最大值是()

A．3B．－3eq\r(2)C．3－2eq\r(3)D．－1

C[∵x＞0，

∴y＝3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(1,x)))≤3－2eq\r(3x·\f(1,x))＝3－2eq\r(3).当且仅当3x＝eq\f(1,x)，且x＞0，即x＝eq\f(\r(3),3)时，等号成立．]

3．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．

5[依题意得y1＝eq\f(20,x)，y2＝eq\f(4,5)x为仓库与车站的距离，

∴y1＋y2＝eq\f(20,x)＋eq\f(4x,5)≥2eq\r(16)＝8，当且仅当x＝5时取等号，所以仓库应建在离车站5千米处．]

4．当xeq\f(3,2)时，求函数y＝x＋eq\f(8,2x－3)的最大值．

[解]y＝eq\f(1,2)(2x－3)＋eq\f(8,2x－3)＋eq\f(3,2)

＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－2x,2)＋\f(8,3－2x)))＋eq\f(3,2)，

∵当xeq\f(3,2)时，3－2x0，

∴eq\f(3－2x,2)＋eq\f(8,3－2x)≥2eq\r(\f(3－2x,2)·\f(8,3－2x))＝4，当且仅当eq\f(3－2x,2)＝eq\f(8,3－2x)，即x＝－eq\f(1,2)时取等号．

于是y≤－4＋eq\f(3,2)＝－eq\f(5,2)，故函数有最大值－eq\f(5,2).]

基本不等式求函数最值

【例1】(1)设0x2，求函数y＝eq\r(3x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－3x)))的最大值；

(2)若x4，求y＝eq\f(3,x－4)＋x的最小值．

[思路点拨](1)3x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－3x))＝8；(2)eq\f(3,x－4)＋x＝eq\f(3,x－4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－4))＋4.可利用基本不等式求解．

[解](1)∵0＜x＜2，∴0＜3x＜6，8－3x＞2＞0，

∴y＝eq\r(3x（8－3x）)≤eq\f(3x＋（8－3x）,2)＝eq\f(8,2)＝4，

当且仅当3x＝8－3x，即x＝eq\f(4,3)时，取等号．

∴当x＝eq\f(4,3)时，y＝eq\r(3x（8－3x）)的最大值是4.

(2)当x＞4时，x－4＞0，

∴eq\f(3,x－4)＋x＝eq\f(3,x－4)＋(x－4)＋4≥2eq\r(\f(3,x－4)×（x－4）)＋4＝2eq\r(3)＋4，

当且仅当eq\f(3,x－4)＝x－4，

即x＝4＋eq