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2021学年第二学期浙江省名校协作体联考参考答案
高三年级数学学科
命题：春晖中学、湖州中学审核：温岭中学
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
D
C
A
A
C
D
B
B
10.【解析】设函数，则，故在上
单调递增.用数学归纳法先证：当时，有；假设，由于，从而.由数学归纳法原理可知.
对于选项A，由于，则，故A正确.
对于选项B,由于当时，可利用导数证明不等式：，
故，从而选项B错误.
对于选项C，也可用数学归纳法.当时，有成立，假设
若，则，与假设矛盾，故.故.从而选项C正确.
对于选项D，当时,，
故
选项D也可如下证明：由于，从而
.从而由柯西不等式得
.综合上述，选B.
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11.,12.14；13.8；25
14.,15.16.17.
17.解析：如图，设，由的几何意义可得的轨迹为抛物线：.可看作抛物线上任意点到以为圆心，半径为1的圆上任一点的距离，设，则
，当时取等号.故的最小值为.
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(本小题满分14分)
解析：
……1分
由正弦定理得
……2分
……3分
……4分
（Ⅰ）
……5分
……6分
……7分
，即……8分
（Ⅱ）………………9分
………………10分
……11分
……12分
……13分
……14分
19.(本小题满分15分)
解析：
法一：（Ⅰ）证明：过在平面内做作的垂线，垂足为，
因为平面平面，所以
过作垂直平面，垂足为，连接交于
所以，所以四点共面
又，所以，
所以，所以是矩形……………4分
所以，因为，所以为中点，又因为，
所以，所以，所以，所以，又，，
所以，又，所以…………7分
（Ⅱ）延长使得，所以，所以与平面共面，平面，交线为，所以过在平面内作,垂足为
所以.……………9分
所以是与平面所成角.…………11分
因为，，，所以，
所以，又因为，所以，
因为，可求得：，,……………14分
直线与平面所成角的正弦值为.………15分
法二：（Ⅰ）
取中点，由平面平面，，可知
如图建系，……………2分
,，，设，则……………4分
（Ⅰ）得，
得……………7分
（Ⅱ）推出,……………9分
所以，
设平面的法向量为，
…………12分
设直线与平面所成角为
所以直线与平面所成角的正弦值为..………………15分
20.(本小题满分15分)
解析：（Ⅰ）由两边同除得：，
两边同除得：，
则，………2分
所以
，（）………4分
所以，又符合，故，……5分
由得：，解得：，所以.……7分
（Ⅱ）∵，
∴①
∴②
由①-②得：，
∴.……11分
则，由得：
，
因为
所以当为偶数时，；当为奇数时，.
故…………………13分
所以，即，故的取值范围是.…15分
21.(本小题满分15分)
解析：（=1\*ROMANI）由抛物线定义及得，则
所以抛物线的方程为.………4分
（=2\*ROMANII）（=1\*romani）证明：设直线
则由得
，
∴不妨设
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