2025年新高考数学一轮复习（基础版）平面向量的数量积.pdfVIP

§5.3平面向量的数量积

课【标要求】1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义2了解平面向量的数量积与投影向

量的关系..掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两

个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系5会用向量的方法解决某些简单的

平面几何问题.

主干知识

■落实

知【识梳理】

1.向量的夹角

已知两个非零向量小b,。是平面上的任意一点，作为=，OB=b,则

叫做向量。与力的夹角.

2.平面向量的数量积

已知两个非零向量”与力，它们的夹角为0,我们把数量MIIMcos1叫做向量a与b的数量积，

记作ab.

.平面向量数量积的几何意义

CAB、D

t

设〃，〃是两个非零向量，它们的夹角是〃，e是与力方向相同的单位向量，AB=a,CD=b,

过第的起点4和终点8,分别作诙所在直线的垂线，垂足分别为A，/力，得到年后，我们

称上述变换为向量〃向向量b投影，乐后叫做向量a在向量b上的投影向量.记为⑷cos。e.

4.向量数量积的运算律

(l)ab=ba.

(2)。〃).力=，小力)=〃.(，/»).

()(a+Z0c=ac+方c

5.平面向量数量积的有关结论

已知非零向量。=，yi),6=(x2，＞,2)»。与力的夹角为。

-^―几何表示坐标表示

数量积。山=|a||b|cos0ab=xiX2^-yiV2

模\a\=yfah|a|=d»+y?

aabx\x2+yiy2

夹角cos夕一|a网cos0i/一।)

a.Lb的充要条件ab=()工成2+)“2=0

创与同步|的关系|Q创4⑷IM\x\X2+.yi”l忘勺(x?+.y彳)(.6+询

常【用结论】

1.平面向量数量积运算的常用公式

22

{\)(a-\-b)(a—b)=a—bx

22

(2)(a±b)=ir+lab+b.

2.有关向量夹角的两个结论

(1)若。与I的夹角为锐角,则G力＞0；

若〃力＞0,则。与的夹隹为锐角或0.

(2)若〃与》的夹角为钝角，则a协＜0；

若“山＜0,则。与的夹隹为钝角.或兀

3.向量。在向量力上的投影向量为需方

【自主诊断】

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“J”或“X”)

(1)两个向量的夹角的范围是0,W.(X)

(2)若。，力共线，则。仍=⑷他|.(X)

(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量.(J)

(4)若ab=ac,则b=c.(X)

2.(必修第二册P60T8改编)已知向量机=(2x,