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弹塑性力学试题与详细解答

弹塑性力学作为固体力学的重要分支，在土木、机械、航空航天等工程领域有着广泛的应用。其核心在于研究材料在弹性阶段和塑性阶段的力学行为，涉及应力、应变、屈服条件、本构关系等关键概念。掌握弹塑性力学，不仅需要深刻理解基本理论，更需要通过大量练习来提升分析和解决实际问题的能力。本文精选了若干具有代表性的弹塑性力学试题，并提供详细解答，旨在帮助读者巩固基础，明晰解题思路，提升综合应用能力。

一、应力状态与屈服条件

例题1：已知某点的应力状态为：σ??=150MPa，σ??=50MPa，σ??=0MPa，剪应力分量均为零。材料为理想弹塑性，屈服极限σ?=200MPa。

（1）试判断该点是否已发生屈服（分别采用Tresca屈服准则和Mises屈服准则）。

（2）若σ??增大至200MPa，其他应力分量不变，再次用两种屈服准则判断，并说明此时材料的塑性变形特点。

解答：

（1）判断初始应力状态是否屈服：

该应力状态为主应力状态，主应力分别为σ?=150MPa，σ?=50MPa，σ?=0MPa（约定σ?≥σ?≥σ?）。

*Tresca屈服准则：材料屈服当且仅当最大剪应力达到材料的剪切屈服极限τ?。其表达式为：

σ?-σ?=2τ?=σ?(对于单向拉伸，σ?=σ?，σ?=σ?=0，此时σ?-σ?=σ?，故Tresca准则也可直接写为σ?-σ?=σ?)。

计算：σ?-σ?=150MPa-0MPa=150MPa。

与σ?=200MPa比较：150MPa200MPa。因此，根据Tresca准则，该点未屈服。

*Mises屈服准则：材料屈服当且仅当等效应力（或称为Mises应力）达到材料的屈服极限σ?。等效应力表达式为：

σ?=√[(1/2)[(σ?-σ?)2+(σ?-σ?)2+(σ?-σ?)2]]

计算：σ?=√[(1/2)[(150-50)2+(50-0)2+(0-150)2]]MPa

=√[(1/2)[(100)2+(50)2+(-150)2]]MPa

=√[(1/2)[____+2500+____]]MPa

=√[(1/2)(____)]MPa=√____≈132.29MPa。

与σ?=200MPa比较：132.29MPa200MPa。因此，根据Mises准则，该点也未屈服。

（2）当σ?增大至200MPa时：

新的主应力为σ?=200MPa，σ?=50MPa，σ?=0MPa。

*Tresca屈服准则：

σ?-σ?=200MPa-0MPa=200MPa=σ?。

因此，根据Tresca准则，该点刚好屈服。

*Mises屈服准则：

σ?=√[(1/2)[(200-50)2+(50-0)2+(0-200)2]]MPa

=√[(1/2)[(150)2+(50)2+(-200)2]]MPa

=√[(1/2)[____+2500+____]]MPa

=√[(1/2)(____)]MPa=√____≈180.28MPa。

180.28MPa200MPa。因此，根据Mises准则，该点仍未屈服。

塑性变形特点（针对Tresca准则下的屈服）：

当满足Tresca准则屈服时，材料将开始产生塑性变形。对于理想弹塑性材料，此时应力状态将保持在屈服面上，而塑性应变将不断累积。在本例中，若继续增加载荷，使得Tresca条件持续满足，则塑性变形会发展。Mises准则下此时尚未屈服，仍处于弹性状态。

讨论：本题展示了不同屈服准则对同一应力状态的判断可能存在差异。Mises准则通常被认为更符合大多数金属材料的实验结果。理解屈服准则的物理意义及其数学表达是弹塑性力学的基础。

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二、简单弹塑性问题分析

例题2：一理想弹塑性材料制成的矩形截面悬臂梁，梁长为L，截面宽度为b，高度为h。材料的弹性模量为E，屈服极限为σ?。梁自由端受集中力F作用。

（1）求梁截面开始出现塑性变形时的屈服载荷F?（弹性极限载荷）。

（2）求梁截面完全进入塑性状态（形成塑性铰）时的极限载荷F?。

（3）简述从弹性阶段到塑性铰形成的过程中，梁截面应力分布的变化。

解答：

悬臂梁在自由端集中力F作用下，固定端截面为危险截面，其弯矩最大，M???=F*L。我们针对