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五年级奥数分数裂项专项训练

同学们在平时的数学学习中，尤其是接触到分数的加减运算后，是不是常常会遇到一些看起来项数很多、分母又很大的题目？直接通分计算吧，往往费时又费力，还容易出错。今天，我们就来学习一种非常巧妙的数学方法——分数裂项，它能帮助我们把一些复杂的分数算式变得简单易算，体验到数学简化的乐趣。

一、什么是分数裂项？

简单来说，分数裂项就是把一个复杂的分数算式中的每一项，根据其自身特点，拆分成两个（或多个）分数的差或和的形式。这样拆分之后，算式中很多项可以相互抵消，从而大大简化计算过程。这就像我们把一块难啃的大蛋糕，巧妙地切成了几块小蛋糕，每一块都更容易入口一样。

在五年级奥数中，我们接触最多的是“分数裂差”，也就是把一个分数拆成两个分数的差。“分数裂和”相对少见，我们今天的重点是“分数裂差”。

二、分数裂差的“秘密武器”

分数裂差不是凭空想象出来的，它有坚实的数学原理作为基础。我们先从最简单的形式入手。

（一）基本原理：认识“好朋友”分母

观察这个算式：`1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+...+1/(9×10)`

如果我们直接通分，公分母会非常大。但我们注意到每个分数的分母都是两个连续自然数的乘积，比如`1×2`，`2×3`等等。

我们来计算一下`1/1-1/2`，结果是`(2-1)/(1×2)=1/(1×2)`。

惊喜地发现：`1/(1×2)=1/1-1/2`！

再试一个：`1/2-1/3=(3-2)/(2×3)=1/(2×3)`，所以`1/(2×3)=1/2-1/3`。

这下明白了吧！对于形如`1/[n×(n+1)]`的分数，它可以拆成`1/n-1/(n+1)`的形式。

这就是分数裂差最基本的“公式”，也是我们解决这类问题的“秘密武器”。

（二）基本型分数裂差例题详解

例题1：计算`1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+...+1/(9×10)`

分析与解答：

根据我们刚刚发现的规律，每一项都可以进行裂差：

`1/(1×2)=1/1-1/2`

`1/(2×3)=1/2-1/3`

`1/(3×4)=1/3-1/4`

`...`

`1/(9×10)=1/9-1/10`

现在，我们把这些拆分后的式子代入原式：

原式=`(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+...+(1/9-1/10)`

仔细观察，我们发现`-1/2`和`+1/2`可以相互抵消，`-1/3`和`+1/3`可以相互抵消，以此类推，一直到`-1/9`和前面的`+1/9`抵消。

最后，原式就简化成了：`1/1-1/10=9/10`。

这种抵消的过程，我们形象地称之为“隔项相消”或“逐项抵消”。这就是裂项法的魅力所在！

三、分数裂差的“变形金刚”

上面的例题是最基本的形式，但实际题目中，分母的两个数可能不是连续的，分子也可能不是1。别担心，只要我们掌握了基本原理，这些“变形金刚”也能轻松搞定。

（一）分子不是1的情况

例题2：计算`2/(1×3)+2/(3×5)+2/(5×7)+...+2/(9×11)`

分析：

我们先看分母，`1×3`，`3×5`，`5×7`，...，`9×11`，分母中两个数的差都是2（3-1=2，5-3=2，等等）。分子都是2。

我们先尝试拆分其中一项，比如`2/(1×3)`。我们希望把它拆成`a/1-b/3`的形式，使得结果等于`2/(1×3)`。

设`a/1-b/3=(3a-b)/(1×3)=2/(1×3)`，所以`3a-b=2`。如果我们取`a=1`，`b=1`，则`3×1-1=2`，刚好满足！所以`2/(1×3)=1/1-1/3`。

同样地，`2/(3×5)=1/3-1/5`，`2/(5×7)=1/5-1/7`，以此类推，`2/(9×11)=1/9-1/11`。

解答：

原式=`(1/1-1/3)+(1/3-1/5)+(1/5-1/7)+...+(1/9-1/11)`

=`1-1/11`（中间项全部抵消）

=`10/11`

小结：当分母为两个数相乘，且这两个数的差为`d`，分子恰好为`d`时，`d/[n×(n+d)]=1/n-1/(n+d)`。

如果分子不是`d`，而是`k`呢？比如`k/[n×(n+d)]`。

很简单，`k/[n×(n+d)]=(k/d)×[d/[n×(n+d)]]=(k/d)×