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八年级函数题型综合能力提升训练

函数是初中数学的核心内容，也是进一步学习更高层次数学知识的基石。八年级阶段，我们主要接触和学习一次函数，它不仅是对之前所学代数知识的深化与拓展，更蕴含着重要的数学思想方法，如数形结合、分类讨论、模型思想等。本训练旨在帮助同学们系统梳理函数的核心概念，深入理解一次函数的图像与性质，并通过对各类典型题型的剖析与练习，提升综合运用知识解决问题的能力，为后续学习奠定坚实基础。

一、函数核心概念的再认识与深化理解

在进入题型训练之前，我们必须对函数的核心概念有清晰且深刻的理解，这是解决一切函数问题的前提。

1.函数的定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。这里的“唯一确定”是函数概念的灵魂，也是判断两个变量是否构成函数关系的关键。

2.函数的三要素：自变量（x）、因变量（y）、对应关系。对于八年级的一次函数而言，对应关系是线性的。

3.函数的表示方法：解析法（用数学式子表示函数关系）、列表法（通过表格列出部分自变量与因变量的对应值）、图像法（用坐标系中的图形直观表示函数关系）。这三种方法各有特点，在解题中需灵活选用或结合使用。

4.一次函数的定义与表达式：

*一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。

*当b=0时，即y=kx（k是常数，k≠0），叫做正比例函数，它是一次函数的特殊形式。

*理解k和b的含义：k是比例系数，b是函数图像与y轴交点的纵坐标（截距）。

5.一次函数的图像与性质：

*图像：一次函数y=kx+b的图像是一条直线。因此，画一次函数图像时，只需确定两个点，通常取与坐标轴的交点（0，b）和（-b/k，0）（当k≠0，b≠0时）。

*性质：

*k的符号决定直线的倾斜方向和函数的增减性：当k0时，直线从左到右上升，y随x的增大而增大；当k0时，直线从左到右下降，y随x的增大而减小。

*b的符号决定直线与y轴交点的位置：当b0时，直线交y轴于正半轴；当b=0时，直线经过原点；当b0时，直线交y轴于负半轴。

*两条直线的位置关系：对于直线y=k1x+b1与y=k2x+b2，若k1=k2且b1≠b2，则两直线平行；若k1≠k2，则两直线相交；若k1=k2且b1=b2，则两直线重合。

二、函数的概念与表示题型解析

深刻理解函数概念是解决此类问题的关键，要紧扣“每一个x的值对应唯一的y值”这一核心。

1.判断是否为函数关系：

*题型特点：给出两个变量的关系，可能是图像、表格、文字描述或解析式，判断y是否为x的函数。

*解题关键：对于给定的x值，看y是否有唯一确定的值与之对应。特别注意图像类问题，若垂直于x轴的直线与图像有两个或以上交点，则不是函数图像。

*例题：下列各图中，能表示y是x的函数的是（）（选项为不同的图像，A为抛物线，B为圆，C为一条直线，D为一个x对应两个y的折线）。答案：A、C。（B、D中存在x对应多个y）

2.函数的三种表示方法的相互转换与信息获取：

*题型特点：

*从函数图像或表格中读取特定x对应的y值，或特定y值对应的x值。

*根据表格或文字信息写出函数的解析式（通常为简单的一次函数或常函数）。

*根据解析式填写表格或绘制简图。

*解题关键：仔细观察，准确提取信息。对于根据信息写解析式，要找到变量间的数量关系。

*例题：某商店出售一种商品，其售价与数量的关系如下表所示：

数量x（件）

1

2

3

4

...

------------

---

---

---

---

-----

售价y（元）

5

10

15

20

...

则y与x之间的函数关系式为_________。答案：y=5x。

三、一次函数的图像与性质应用题型

一次函数的图像（直线）和性质（增减性、与坐标轴交点等）是中考的重点考查内容。

1.一次函数图像的画法与识别：

*题型特点：已知一次函数解析式，要求画出其图像；或给出几个一次函数的图像，判断其对应的解析式中k、b的符号。

*解题关键：掌握“两点法”画直线。理解k、b的符号对直线位置的影响：k决定倾斜方向，b决定与y轴交点。

*例题：一次函数y=-2x+3的图像不经过第______象限。答案：三。（k=-20，b=30，图像过一、二、四象限）

2.根据一次函数的图像或性质确定解析式：

*题型特点：

*已知直线经过两个点的坐标，求函数解析式。

*已知直线与坐标轴的交点坐标，求函数解析式。

*已知直线平行（或垂直，八年级阶段主要是平行）于某已知直线，且经过一个点，求解析