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高中数学《函数与方程》专题教学设计

一、专题概述与教学理念

《函数与方程》是高中数学的重要内容，它不仅承载着函数思想的深化与应用，更是连接代数与几何、培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模及数学运算核心素养的关键纽带。本专题的教学设计，旨在打破传统知识传授的壁垒，引导学生从函数的视角重新审视方程，理解函数零点与方程根之间的内在联系，并掌握运用函数性质解决方程相关问题的基本方法。教学过程中，将突出“以学生为主体，以问题为导向”的理念，通过创设情境、引导探究、合作交流等方式，激发学生的学习主动性，促使其在解决实际问题的过程中构建知识体系，体会数形结合、转化与化归等重要数学思想的魅力。

二、教学目标分析

（一）知识与技能目标

1.学生能够准确理解函数零点的概念，明确函数零点与相应方程实数根、函数图像与x轴交点横坐标之间的等价关系。

2.学生能够阐述并理解函数零点存在性定理的条件和结论，并能运用该定理判断函数在给定区间内是否存在零点。

3.学生能够初步掌握“二分法”的基本思想和操作步骤，会用二分法求某些简单方程的近似解，并能体会其逐步逼近的过程。

4.学生能够运用函数的图像和性质（如单调性、奇偶性等）判断方程根的个数，并能解决与方程根相关的简单问题。

（二）过程与方法目标

1.通过对具体方程求解问题的探究，引导学生经历从特殊到一般、从具体到抽象的思维过程，培养其归纳概括能力。

2.在函数零点概念的形成和零点存在性定理的探究过程中，鼓励学生动手实践、观察分析、合作讨论，提升其数学探究能力和合作交流能力。

3.通过运用函数观点解决方程问题，使学生体会数形结合、转化与化归、函数与方程等重要数学思想方法的应用，培养其数学思维的灵活性和深刻性。

4.在二分法的学习中，让学生感受算法思想，初步体会程序化解决问题的优势。

（三）情感态度与价值观目标

1.通过函数与方程之间辩证关系的学习，引导学生感悟数学知识的内在联系与统一性，激发学习数学的兴趣。

2.在解决问题的过程中，培养学生勇于探索、敢于质疑的科学精神和严谨求实的治学态度。

3.通过二分法等内容的学习，让学生体会数学在解决实际问题中的应用价值，增强其应用意识和创新意识。

4.在合作学习与交流中，培养学生的团队协作精神和表达能力。

三、教学重点与难点

（一）教学重点

1.函数零点的概念及其与方程根的关系。

2.函数零点存在性定理的理解与应用。

3.运用函数图像和性质判断方程根的个数。

（二）教学难点

1.对函数零点存在性定理中“连续不断”、“f(a)·f(b)0”等条件的准确理解，以及定理结论的局限性（仅能判断存在性，不能判断唯一性和具体个数）。

2.将方程问题转化为函数问题进行研究的转化思想的渗透与运用。

3.二分法的原理及操作步骤的实际应用，尤其是对精确度的理解。

四、教学方法与手段

（一）教学方法

1.情境创设法：通过生活实例或有趣的数学问题引入，激发学生学习兴趣。

2.问题驱动法：围绕核心问题设计一系列子问题，引导学生逐步深入探究。

3.启发探究法：设置探究性活动，鼓励学生自主思考、动手操作，教师适时点拨引导。

4.讲练结合法：通过教师讲解关键概念和方法，配合典型例题分析与学生练习，巩固所学知识。

5.小组合作学习法：针对某些探究性问题或较复杂的解题任务，组织学生进行小组讨论与合作。

（二）教学手段

1.传统板书：用于核心概念、定理、重要解题步骤的推导和总结，清晰展现思维过程。

2.多媒体辅助：利用PPT、几何画板等软件，动态演示函数图像的生成、零点的变化、二分法的逼近过程等，增强教学的直观性和生动性，突破难点。

3.图形计算器或数学软件（可选）：在条件允许的情况下，引导学生利用技术工具进行函数图像绘制、数值计算等，培养其信息素养。

五、教学过程设计（课时建议：3-4课时，此处以核心环节为例进行阐述）

（一）第一课时：函数的零点与方程的根

1.教学情境创设

*问题引入：提出问题，如“方程x2-2x-3=0的根是什么？你是如何求解的？”引导学生回顾二次方程的解法。进一步提出：“方程2?=x+1的根是什么？你能直接求解吗？”引发认知冲突，激发学生思考新的解决途径。

*引导思考：如果不能直接求解方程，我们能否知道它是否有根？有几个根？大概在什么范围？从而引出用函数观点研究方程的必要性。

2.新知探究与建构

*函数零点概念的形成：

*引导学生观察方程x2-2x-3=0的根与函数y=x2-2x-3的图像和x轴交点的关系。

*推广到一般情况，给出函数零点的定义：对于函数y