初中几何圆周角知识点讲解及练习.docxVIP

初中几何圆周角知识点讲解及练习

在初中几何的学习中，圆无疑是一个核心内容，而圆周角则是圆的相关性质里最为活跃也最为重要的概念之一。理解并掌握圆周角的性质，不仅能够帮助我们解决与圆相关的计算和证明问题，更能培养我们的逻辑推理能力和空间想象能力。下面，我们就来系统地学习一下圆周角的相关知识。

一、圆周角的定义

首先，我们要明确什么是圆周角。顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

这个定义包含两个关键要素：

1.顶点在圆上：这是圆周角与圆心角（顶点在圆心）最根本的区别。

2.两边都和圆相交：意味着角的两条边都是圆的弦。

请同学们注意，仅仅顶点在圆上是不够的，角的两边必须与圆有另外的交点（除顶点外）。

二、圆周角定理

我们已经知道了圆心角，它的度数等于它所对的弧的度数。那么，圆周角和它所对的弧，以及同弧所对的圆心角之间有什么关系呢？

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

也就是说，如果我们有一个圆心角∠AOB，和一个圆周角∠ACB，它们所对的弧都是弧AB，那么∠ACB=1/2∠AOB。

定理的证明思路：

这个定理的证明需要分三种情况来讨论，这是因为圆周角的顶点位置相对于圆心的位置可能不同：

1.圆心在圆周角的一边上：这种情况最为简单，我们可以利用三角形外角的性质（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）以及等腰三角形的性质（半径相等）直接得出结论。

2.圆心在圆周角的内部：我们可以通过作一条直径，将这个圆周角转化为两个第一种情况的圆周角之和，从而证明结论。

3.圆心在圆周角的外部：类似地，我们也可以通过作一条直径，将这个圆周角转化为两个第一种情况的圆周角之差，进而证明结论。

通过这三种情况的证明，我们就可以确认圆周角定理的正确性。这个定理是我们后续学习圆周角推论的基础，务必深刻理解和掌握。

三、圆周角定理的推论

由圆周角定理出发，我们可以得到几个非常重要的推论，这些推论在解题中有着广泛的应用。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。

因为同弧或等弧所对的圆心角相等，而圆周角是圆心角的一半，所以同弧或等弧所对的圆周角自然也相等。

反之，在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧也相等。(注意前提条件：“在同圆或等圆中”)

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

这是一个非常实用的推论。如图，若AB是圆O的直径，则圆周角∠ACB=90°。反过来，如果在圆O中有一个圆周角∠ACB=90°，那么它所对的弦AB一定是直径。这个推论常被用来判断直角三角形或构造直角。

推论3：圆内接四边形的对角互补。

四边形的四个顶点都在同一个圆上，这样的四边形叫做圆内接四边形。圆内接四边形的任意一组对角之和等于180°。即，若四边形ABCD是圆内接四边形，则∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。

这个推论的证明也很简单：圆内接四边形的每一个内角都是一个圆周角，它们所对的弧恰好构成整个圆周（360°），所以对角所对的弧之和为180°，因此对角之和为180°。

四、圆周角知识的应用与解题技巧

在解决与圆周角相关的问题时，我们要注意以下几点：

1.找弧是关键：无论是圆周角定理还是其推论，都是围绕着“弧”来展开的。很多时候，找到相等的弧或者找到某个圆周角所对的弧，问题就能迎刃而解。

2.构造直径：当题目中出现直角或需要构造直角时，不妨考虑利用“直径所对的圆周角是直角”这一推论，尝试连接圆的直径。

3.关注圆内接四边形：如果图形中存在圆内接四边形，要立刻联想到“对角互补”的性质，这往往是解题的突破口。

4.综合运用：圆周角的知识很少单独考查，通常会与等腰三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形等知识结合起来。因此，我们要学会综合运用所学知识。

五、练习题

基础巩固

1.选择题：下列说法中，正确的是（）

A.顶点在圆上的角是圆周角

B.圆周角等于圆心角的一半

C.同弧所对的圆周角相等

D.90°的角所对的弦是直径

2.填空题：在⊙O中，一条弧所对的圆心角是70°，则这条弧所对的圆周角是______度。

3.解答题：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠AOC=100°，求∠ABC的度数。

能力提升

4.解答题：如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，求证：∠AEC=1/2(弧AC的度数+弧BD的度数)。（提示：连接AD，利用圆周角与弧的关系）

5.解答题：已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=60°，∠B=80°，求∠C和∠D的度数。

综合应用

6.证明题：如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径。求证：∠BAE=∠CAD。

---