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高中数学函数与导数教学指导

函数与导数是高中数学的核心内容，不仅是进一步学习高等数学的基础，也是培养学生逻辑思维能力、抽象概括能力和解决实际问题能力的重要载体。在教学过程中，如何引导学生深刻理解概念本质，熟练掌握思想方法，灵活运用知识解决问题，是每位数学教师需要深入思考和实践的课题。本文旨在结合教学实际，从函数与导数的教学两个层面，提供一些具有针对性和操作性的指导建议。

一、函数教学指导

函数概念的引入，标志着学生从常量数学向变量数学的过渡，是数学思维上的一次重大飞跃。教学中应注重概念的形成过程，帮助学生建立清晰的函数观念。

（一）函数概念的深刻理解与建构

函数概念的核心在于“两个非空数集间的一种确定的对应关系”。教学伊始，不宜直接抛出抽象定义，而应从学生熟悉的具体实例出发，如生活中的变量关系（路程与时间、温度与日期）、数学中的运算关系（代数式的值随字母取值的变化）等，引导学生观察、分析变量之间的依赖关系和对应规律，逐步归纳出函数的本质属性。

在形成概念后，要强调构成函数的三要素：定义域、对应法则和值域。其中，定义域是函数的“灵魂”，必须引导学生在研究函数问题时首先考虑定义域。对于对应法则，要通过不同的表示形式（解析法、列表法、图象法）进行阐释，使学生理解其多样性和统一性。值域则是由定义域和对应法则共同决定的，是函数概念的自然延伸。教学中，应鼓励学生主动参与概念的辨析，通过正反例的对比，深化对概念内涵与外延的理解，避免死记硬背。

（二）基本初等函数的图象与性质

基本初等函数（一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数）是研究更复杂函数的基础。对于每一类函数，教学的重点应放在引导学生通过图象直观感知其性质，并能用数学语言准确描述。

“数形结合”是研究函数性质的利器。教师应引导学生亲手绘制函数图象，或利用信息技术动态展示函数图象的变化过程，让学生在“看”图的过程中发现函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、零点等性质。例如，在研究二次函数时，通过配方或求导（为后续导数学习埋下伏笔）找到对称轴，进而分析其单调性和最值；在研究指数函数与对数函数时，通过对比底数变化对图象的影响，理解其增长差异和互为反函数的关系。

性质的探究不应停留在表面记忆，更要理解其内在逻辑。例如，奇偶性反映了函数图象的对称性，单调性描述了函数值随自变量变化的趋势。通过具体问题的解决，让学生体会到掌握函数性质对于简化运算、解决问题的重要性。

（三）函数思想的渗透与应用意识的培养

函数思想是一种重要的数学思想，它体现了运动变化、相互联系、相互制约的观点。教学中，应将函数思想贯穿始终，引导学生学会用函数的眼光观察问题、分析问题和解决问题。

例如，方程的解可以看作是函数图象与x轴交点的横坐标，不等式的解集可以通过比较两个函数值的大小来确定。在解决实际问题时，引导学生建立函数模型，将实际问题转化为数学问题，通过研究函数的性质来解决。这不仅能提高学生的解题能力，更能培养其数学应用意识和建模能力。

（四）函数综合问题的解题策略与思维训练

函数综合题往往涉及多个知识点的交汇，对学生的思维能力要求较高。教学中，应注重培养学生的审题能力，引导他们善于从复杂问题中提取关键信息，明确已知与未知，联想相关知识和方法。

解题策略上，可以引导学生从函数的定义域入手，关注函数的特殊点（如零点、极值点、最值点），利用函数的性质（单调性、奇偶性等）简化问题，或通过构造辅助函数将问题转化。同时，要强调解题过程的规范性和表达的准确性，培养学生严谨的逻辑推理能力。一题多解和多题一解的训练，有助于拓宽学生的解题思路，提升其思维的灵活性和深刻性。

二、导数教学指导

导数是研究函数单调性、极值、最值等性质的强大工具，也是连接初等数学与高等数学的桥梁。导数的教学应在学生掌握函数基础知识的前提下，注重概念的几何意义和物理意义的理解，以及其在研究函数和解决实际问题中的应用。

（一）导数概念的直观感知与严谨表述

导数概念的引入，可以从具体问题入手，如瞬时速度、曲线的切线斜率等，让学生直观感知“变化率”的概念。通过平均变化率到瞬时变化率的逼近过程，引导学生理解导数的本质——函数在某一点处的瞬时变化率。

在给出导数的极限定义时，要处理好直观描述与严格定义的关系。高中阶段对极限的要求不宜过高，重点应放在导数的几何意义（曲线在该点处切线的斜率）和物理意义（瞬时速度）的理解上。通过动手计算一些简单函数在某点处的导数，加深对定义的理解和应用。

（二）导数的运算

导数的运算是导数应用的基础。教学中，应让学生熟练掌握基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，理解复合函数求导法则的含义，并能正确运用。

在导数运算的教学中，要强调运算的准确性和规范性。通过适量的练习，使学生能够熟练进行求导运算。同时，要引导学生体会导数运算中蕴