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2025年期末高代必考题目及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）

1.在线性空间中，向量组线性无关的充分必要条件是（）。

A.向量组中至少有一个向量不为零

B.向量组中任意两个向量不成比例

C.向量组的秩等于向量的个数

D.向量组中存在一个向量不能用其他向量线性表示

答案：C

2.矩阵的初等行变换不改变矩阵的（）。

A.秩

B.转置

C.行列式

D.转置行列式

答案：A

3.若向量组α1,α2,α3线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）。

A.α1+α2,α2+α3,α3+α1

B.α1-α2,α2-α3,α3-α1

C.2α1,2α2,2α3

D.α1+2α2,α2+2α3,α3+2α1

答案：A

4.矩阵A可逆的充分必要条件是（）。

A.A的行列式不为零

B.A的秩等于其阶数

C.A的行向量组线性无关

D.A的列向量组线性无关

答案：B

5.在线性方程组Ax=b中，若增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩，则方程组（）。

A.有唯一解

B.无解

C.有无穷多解

D.解的情况不确定

答案：B

6.若A是n阶方阵，且A的行列式为零，则（）。

A.A的秩为零

B.A的秩小于n

C.A的秩等于n

D.A的秩不确定

答案：B

7.在线性空间中，向量组α1,α2,α3的秩为2，则下列命题正确的是（）。

A.α1,α2,α3线性无关

B.α1,α2,α3中至少有两个向量线性无关

C.α1,α2,α3中至少有一个向量为零向量

D.α1,α2,α3中任意两个向量线性无关

答案：B

8.矩阵A的秩为r，则A的秩为r的充分必要条件是（）。

A.A中存在r个线性无关的行向量

B.A中存在r个线性无关的列向量

C.A中存在一个r阶子式不为零

D.A中所有r+1阶子式均为零

答案：C

9.在线性方程组Ax=b中，若A为满秩矩阵，则方程组（）。

A.有唯一解

B.无解

C.有无穷多解

D.解的情况不确定

答案：A

10.若A是n阶方阵，且A的行列式不为零，则（）。

A.A的秩为零

B.A的秩小于n

C.A的秩等于n

D.A的秩不确定

答案：C

二、多项选择题（每题2分，共10题）

1.下列命题中，正确的有（）。

A.线性空间中的零向量是唯一的

B.线性空间中的向量组线性无关，则其任意部分组也线性无关

C.线性空间中的向量组线性相关，则其任意扩展组也线性相关

D.线性空间中的向量组线性无关，则其任意扩展组也线性无关

答案：A,B

2.矩阵的初等行变换包括（）。

A.交换两行

B.某一行乘以非零常数

C.某一行加上另一行的倍数

D.某一行减去另一行的倍数

答案：A,B,C

3.下列命题中，正确的有（）。

A.矩阵的秩等于其非零子式的最高阶数

B.矩阵的秩等于其行向量组的秩

C.矩阵的秩等于其列向量组的秩

D.矩阵的秩等于其行向量组和列向量组中线性无关向量的最大个数

答案：A,B,C,D

4.线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是（）。

A.增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩

B.系数矩阵的秩等于其行向量组的秩

C.增广矩阵的秩等于其列向量组的秩

D.系数矩阵的秩等于n

答案：A,B

5.下列命题中，正确的有（）。

A.线性空间中的向量组线性无关，则其任意线性组合不为零向量

B.线性空间中的向量组线性相关，则其任意线性组合为零向量

C.线性空间中的向量组线性无关，则其任意线性组合唯一

D.线性空间中的向量组线性相关，则其任意线性组合不唯一

答案：A,C

6.矩阵A可逆的充分必要条件是（）。

A.A的行列式不为零

B.A的秩等于其阶数

C.A的行向量组线性无关

D.A的列向量组线性无关

答案：A,B,C,D

7.在线性空间中，向量组α1,α2,α3的秩为2，则下列命题正确的有（）。

A.α1,α2,α3线性无关

B.α1,α2,α3中至少有两个向量线性无关

C.α1,α2,α3中至少有一个向量为零向量

D.α1,α2,α3中任意两个向量线性无关

答案：B

8.线性方程组Ax=b无解的充分必要条件是（）。

A.增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩

B.系数矩阵的秩小于其行向量组的秩

C.增广矩阵的秩小于系数矩阵的秩

D.系数矩阵的秩小于n

答案：A,B

9.下列命题中，正确的有（）。

A.线性空间中的零向量是唯一的

B.线性空间中的向量组线性无关，则其任意部分组也线性无关

C.线性空间中的向量组线性相关，则其任意扩展组