2025年新高考数学一轮复习（基础版）圆锥曲线中的综合问题.pdfVIP

§8.11圆锥曲线中的综合问题

课【标要求】1.圆锥曲线的琮合问题是高考考查的重点内容，常见热点题型有求值、明问题,

定点、定值问题，范围、最值问题，探索性问题2以解答题的形式压轴出现，难度较大.

题型一求值与明问题

例1(12分)(2023.新高考会国I)在直角坐标系。寸中，点P到x轴的距离等于点尸到点

的距离,记动点P的轨迹为W.

(1)求卬的方程；切［入点：直接法求轨迹方程］

(2)已知矩形人8co有三个顶点在W上，明：矩形八BC。的周长大于3小.关【键点：对周长

放缩］

思［路分析］

(1)设P(x,y),直接法求轨迹方程

(2)设点A,B,C的坐标，利用建立关系

(3)利用弦长公式表示出周长

(4)对周长进行放缩

(5)建立函数，利用导数求最值

答题模板规范答题不丢分

⑴解设P(x,y),则

①处直接法求轨迹方程

两边同时平方化简得)，=/+?

故W：)，=«+；.(2分)

2

上

+

卬

(2)明设矩形的三个顶点伞,

且abc.

易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0,

则依8•k8C=—1,〃+力vb+c,(4分)

令心8=：=a+5=〃i0,

b—a

同理令依c=0+c=〃0,且〃?〃=—1,则〃1=一：,6（分）

②处得到，〃，〃之间的关系

设矩形周长为C,由对称性不妨设|〃?|冽〃|,

则长=|AB|+|8C|=S-a：r\/1+〃/+c（-力NI+〃2

③处用弦长公式表示周长

Nc（—4H1+=M+[}/1+〃2,心0,8（分）

④处进行周长放缩

f。）=21（+£）5-5令/。）=0,解得x=¥，

当XEO（,平）时，ru）o,此时应。单调递减，

当人€乎（，+8）时，/x（）0,此时1/U）单调递增，

则AOmin=/¥（）=§，1（0分）

⑥处利用导数求最值

收黑7^=唔即

当C=3小时，n=*,〃1=_巾,

与当伯一31+而=S-N1+小，

即机=〃时等号成立，矛盾,

⑦处排除边界值

故03小，得.1（2分）

思维升华(1)求值问题即是根据条件列出对应的方程，通过解方程求解.

(2)圆锥曲线中的明问题，主要有两类：一是明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系,

如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线工行或垂直等；二是证明直线与圆锥

曲线中的一1些数量关系相等或不等).

跟踪训练12023・石嘴山模拟)已知椭圆C：，+$=13乂＞0)过点，一1，今，点尸1,0)是C

的一个焦点.

1)求椭圆C的方程；

⑵已知过点PO.l)的直线/交X轴于点Q,交椭圆。于A,B两点、,若|AP|=|8Q|,求直线/

的方程.

解1)由题意知，椭圆。的另一个焦点为田-1,0),

又从-1,券

所以=[4+曰=3,