黑龙江省大庆外国语学校高二数学《“杨辉三角”与二项式系数的性质》教案.docVIP

教学目标：

学问与技能：把握二项式系数的四共性质。

过程与方法：培育观看发觉，抽象概括及分析解决问题的力量。

情感、态度与价值观：要启发同学认真分析书本图1－5－1供应的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。

教学重点：如何机敏运用开放式、通项公式、二项式系数的性质解题

教学难点：如何机敏运用开放式、通项公式、二项式系数的性质解题

授课类型：新授课

课时支配：2课时

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1．二项式定理及其特例：

（1），

（2）.

2．二项开放式的通项公式：

3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要依据通项公式争辩对的限制；求有理项时要留意到指数及项数的整数性

二、讲解新课：

1二项式系数表（杨辉三角）

开放式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和

2．二项式系数的性质：

开放式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数

定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）

（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）．

直线是图象的对称轴．

（2）增减性与最大值．∵，

∴相对于的增减状况由打算，，

当时，二项式系数渐渐增大．由对称性知它的后半部分是渐渐减小的，且在中间取得最大值；

当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值．

（3）各二项式系数和：

∵，

令，则

三、讲解范例：

例1．在的开放式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和

证明：在开放式中，令，则，

即，

∴，

即在的开放式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．

说明：由性质（3）及例1知.

例2．已知，求：

（1）；（2）；（3）.

解：（1）当时，，开放式右边为

∴，

当时，，∴，

（2）令，①

令，②

①②得：，∴.

（3）由开放式知：均为负，均为正，

∴由（2）中①+②得：，

∴，

∴

例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10开放式中x3的系数

解：

=，

∴原式中实为这分子中的，则所求系数为

例4.在(x2+3x+2)5的开放式中，求x的系数

解：∵

∴在(x+1)5开放式中，常数项为1，含x的项为，

在(2+x)5开放式中，常数项为25=32，含x的项为

∴开放式中含x的项为，

∴此开放式中x的系数为240

例5.已知的开放式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求开放式的常数项

解：依题意

∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10

设第r+1项为常数项，又

令，

此所求常数项为180

例6．设，

当时，求的值

解：令得：

，

∴，

点评：对于，令即可得各项系数的和的值；令即，可得奇数项系数和与偶数项和的关系

例7．求证：．

证（法一）倒序相加：设①

又∵②

∵，∴，

由①+②得：，

∴，即．

（法二）：左边各组合数的通项为

，

∴．

例8．在的开放式中,求:

①二项式系数的和;

②各项系数的和;

③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;

④奇数项系数和与偶数项系数和;

⑤的奇次项系数和与的偶次项系数和.

分析:由于二项式系数特指组合数,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式中的系数无关.

解：设(*),

各项系数和即为,奇数项系数和为,偶数项系数和为,的奇次项系数和为,的偶次项系数和.

由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.

①二项式系数和为.

②令,各项系数和为.

③奇数项的二项式系数和为,

偶数项的二项式系数和为.

④设,

令,得到…(1),

令,(或,)得…(2)

(1)+(2)得,

∴奇数项的系数和为;

(1)-(2)得,

∴偶数项的系数和为.

⑤的奇次项系数和为;

的偶次项系数和为.

点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区分开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.

例9．已知的开放式的系数和比的开放式的系数和大992,求的开放式中:①二项式系数最大的项;②系数的确定值最大的项.

解：由题意,解得.

①的开放式中第6项的二项式系数最大,

即.

②设第项的系数的确定值最大,

则

∴,得,即

∴,∴,故系数的确定值最大的是第4项

例10．已知：的开放式中，各项系数和比它的二项式系数和大．

（1）求开放式中二项式系数最大的项；（2）求开放式中系数最大的项

解：令，则开放式中各项系数和为，

又开放式中二项式系数和为，

∴，．

（1）∵，开放式共项，二项式系数最大的项为第三、四