误差椭圆讲解讲课文档.pptVIP

误差椭圆讲解第1页，共47页。

第5章误差椭圆【学习要点及目标】了解点位误差的基本概念；熟悉点位误差计算步骤与方法；熟悉误差曲线、误差椭圆、相对误差椭圆的计算步骤。第2页，共47页。

5.1点位误差概述平面控制测量的目的是确定待定控制点的一对平面直角坐标。由于观测值总是带有误差，因而根据观测值，通过平差计算所得的是待定点的最或然坐标x、y，并不是其坐标真值、。如图5-1所示，P为某待定点的真实位置，为平差计算所求得的最或然点位，那么点相对P点的偏移量就是P点的点位真误差(简称真位差)。在x、y坐标轴上的投影分别为(5-1)第3页，共47页。

5.1点位误差概述由图5-1可知5-2图5-1点位真误差第4页，共47页。

,5.1点位误差概述P点的最或然坐标x、y都是由同一组观测值通过平差计算所求得的。设平差后的坐标x、y与观测值向量之间的线性函数关为显然，随着观测值的不同，x和y也将取得不同的数值。换言之，对应于不同的子样观测值，将得到不同的x、y值，因而就出现不同的所以它们都是随机变量。对该函数关系取数学期望，得值第5页，共47页。

根据方差的定义，并顾及式(5-1)，则有5.1点位误差概述对式(5-2)两边取数学期望，得式中，，则是P点真位差平方的理论平均值，即P点的点位方差，若记为则(5-3)第6页，共47页。

式中，分别为P点在x、y方向上的中误差，或称为x、y方向上的位差。将式(5-3)开方即得P点的点位中误差如果将图5-1中的坐标系旋转某一个角度，即以为坐标系(图5-2)，则P、点的坐标分别为虽然在新坐标系中对应的真误差的大小变了，但的大小将不因坐标轴的变动而发生变化，此时5.1点位误差概述第7页，共47页。

据式(5-2)、式(5-3)可以直接写出可见，点位方差总是等于两个相互垂直方向上的位差的平方和，与坐标系的选择无关5.1点位误差概述第8页，共47页。

图5-2位差大小与坐标系无关5.1点位误差概述第9页，共47页。

如图5-1所示，如果再将P点的真位差投影于AP方向和垂直于AP的方向上，则得此时有仿式(5-4)的由来，又可以写出(5-5)为纵向位差为横向位差。通过纵、横向位差来求点位误差，这在测量工作中是一种常用的方法。5.1点位误差概述第10页，共47页。

5.2点位误差计算因为待定点的x、y坐标平差值的方差可表达为(5-6)就是该点最或然坐标x和y的权倒数。(2)按条件平差时。当三角网按条件平差时，因待定点的坐标平差值是观测值的函数，这时可根据第1章中的协因数传播律来求待定点坐标平差值的协因数。第11页，共47页。

任意方向的位差如图5-3所示，设某任意方向与x轴夹角为为求待定点P在方向上的真位差需先找出与x、y方向上的真位差的函数关系P点在方向上的真位差，实际上就是P点的真位差在方向上的投影值由图5-3可以看出的关系为第12页，共47页。

5-3、的关系根据广义传播律，得顾及式(5-6)，又得式(5-11)就是求任意方位方向上点位方差的基本公式任意方向的位差第13页，共47页。

位差的极大值、极小值与极值方向在式(5-11)中，对于某具体平差问题和协因数Q为与角无关的定值，即是以为单一自变量的函数。因此，只要将对求导，并令其为零，即可求出取得极值时的方向也就是使即由此得(5-12)第14页，共47页。

位差的极大值、极小值与极值方向根据式(5-12)可得两个解极值方向为为判断哪一个是极大值方向，哪一个是极小值方向，将代入式(5-11)，得上式中，括号内前两项恒为正值，因此，当同号时，为极大值而为极小值；当异号时，为极小值，而第15页，共47页。

为极大值。习惯上，用E表示极大值，F表示极小值，表示极大值方向，表示极小值方向。总是互差即将分别代入式(5-11)，得两个位差极值的初步表达式为下面导出计算位差极值的常用公式。将代入式(5-11)，并考虑到位差的极大值、极小值与极值方向第16页，共47页。

得顾及式(5-12)，则由三角学知则位差的极大值、极小值与极值方向第17页，共47页。

位差的极大值、极小值与极值方向令则这就是求极值E、F的常用公式。不难看出，与E、F间存在以下关系，即(5-14)(5-15)(5-16)第18页，共47页。

用极值表示任意方向上的位差任意方向位差计算公式(5-11)中，方向是从x轴算起的，并且是通过协因数来计算位差。但既然已经算得了极值和极值方位，那么很多时候，以极值方向作为起始方向并通过极值来上的位差计算公式，此处方向是以极大值E的方向为起始轴的即把