人教版（2024）七年级数学上册 专题练 第二章有理数的运算（含解析）.docxVIP

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第二章有理数的运算

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、解答题

1．利用运算律计算有时可以更简便．

例1：；

例2：．

请你参考示例，用运算律简便计算．

(1)；

(2)．

2．计算：

3．阅读与思考：观察下列式子：，，，，

(1)（探索规律）用正整数表示上述式子的规律是______；

(2)（问题解决）容器里有升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，，第次倒出的水量是升水的．按照这种倒水方式，这升水能否倒完？说明理由；

(3)（拓展探究）化简：．

4．计算：．

5．数学兴趣小组在计算，，等两位数乘法时发现，当十位上的数字相同、个位上的数字之和为的两个两位数相乘时可以用图形面积来分解计算：

由图可得；

由图可得；

由图可得．

(1)请你帮助数学兴趣小组画出计算的面积分解图并计算；

(2)设这两个两位数的十位数字为，个位数字分别为，请用含的代数式表示出你发现的计算规律，并证明．

二、单选题

6．为了求的值，可令，则，因此所以，仿照以上推理，计算（???）

A． B． C． D．

7．如图是李明在学校数学推理社团课的部分笔记，请根据笔记推理过程计算：（???）

求的值

解：令，

则

故，

因此

A． B． C． D．

三、填空题

8．计算：

四、解答题

9．计算：

(1)

(2)

(3)

(4)

10．计算：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

11．计算：

(1)

(2)

(3)

(4)

12．计算：

(1)；

(2)．

13．观察下列等式．

第1个等式：；第2个等式：；

第3个等式：；第4个等式：；

…

根据以上规律，解决下列问题：

(1)写出第5个等式：______；

(2)请写出第个等式：______；（（用含的式子表示，为正整数）

(3)计算：．

14．《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题．

（规律探索）

(1)如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则，如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则____；

同种操作，如图3，_____；

如图4，________；

……若同种地操作n次，则_________．

于是归纳得到：_________．

(2)阅读材料：求的值．

解：设①，

将①×2得：②，

由②-①得：，即．

即

根据上述材料，试求出的表达式，写出推导过程．

15．观察下列各式：

；

；

；

…

(1)猜想：；

(2)利用（1）中的猜想计算：_______；

(3)计算；

(4)若，求的值．

16．观察下列等式：，把以上三个等式两边分别相加，得．

(1)猜想：；

(2)规律应用：计算；

(3)拓展提高：计算

17．阅读材料：如果有一列数，从这列数的第2个数开始，每一个数与它的前一个数的比等于同一个非零的常数，这样的一列数就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（）．

(1)观察一个等比数列1，，，，…，它的公比q=______；若（n为正整数）表示这个等比数列的第n项，则=_______；

(2)欲求的值，可以按照如下步骤进行：

令①，

等式两边都乘2，得②，

由，得，

，即的值为．

请根据以上解答过程，计算：．

18．在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值．

【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为．

“破浪”小组是这样思考的：设，

将等式两边同时乘以得：，

将上式减去下式得，即，即．

【过程思考】

(1)图1中阴影部分的面积是，=．

(2)请你利用图2，再设计能求的值的几何图形．（只画出图形即可）

(3)根据以上规律，

①．（为正整数）

②．（为正整数）

19．观察并验证下列等式：

，

，

，

(1)续写等式：________；（写出最后结果）

(2)我们已经知道，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：________；（结果用因式乘积表示）

(3)利用（2）中得到的结论计算：

；

20．探寻规律：

（1）直接写