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2025年天津市专升本数学（理科）考试练习题及参考答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设集合A={x|0x1}，B={x|x≤2或x≥1}，则A∩B等于（）

A.?

B.(2,0]

C.(0,1)

D.(0,1]

解析：集合A是开区间(0,1)，集合B是(∞,2]和[1,+∞)的并集。两个集合的交集是它们的共同部分，即(0,1)。故选D。

2.函数f(x)=x22x+1的最小值是（）

A.1

B.0

C.1

D.4

解析：f(x)可以写成完全平方形式f(x)=(x1)2，显然当x=1时，f(x)取得最小值0。故选B。

3.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=12，S6=27，则该数列的公差d等于（）

A.2

B.3

C.4

D.5

解析：设等差数列的首项为a1，公差为d。根据等差数列前n项和的公式，有S3=3a1+3d=12，S6=6a1+15d=27。解这个方程组，得到d=3。故选B。

4.设函数g(x)=x33x，则g(x)在区间(∞,+∞)上的单调递增区间是（）

A.(∞,0]

B.[0,+∞)

C.(∞,1]

D.[1,+∞)

解析：求导g(x)=3x23。令g(x)0，解得x1或x1。因此，g(x)在(∞,1)和(1,+∞)上单调递增。故选D。

5.下列各数中，无理数是（）

A.√2

B.√9

C.√16

D.√25

解析：无理数是指不能表示为两个整数比的数。√2是一个无限不循环小数，因此是无理数。其他选项都是整数。故选A。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.设函数f(x)=x2+2x+1，求f(3)的值。

答案：f(3)=(3)2+2(3)+1=4

解析：将x=3代入函数f(x)中，计算得到f(3)=4。

7.已知等差数列{an}的公差d=2，a3=7，求a1。

答案：a1=3

解析：由等差数列通项公式an=a1+(n1)d，代入已知条件得到7=a1+(31)×2，解得a1=3。

8.求函数f(x)=x24x+4在区间[1,3]上的最大值和最小值。

答案：最大值9，最小值0。

解析：f(x)=(x2)2，函数在x=2处取得最小值0，在x=1和x=3处取得最大值9。

9.若函数f(x)=2x+3与g(x)=kx+b互为反函数，求k和b的值。

答案：k=1/2，b=3/2。

解析：反函数的性质是f(g(x))=x和g(f(x))=x。将f(x)代入g(x)，得到2(2x+3)+3=kx+b，解得k=1/2，b=3/2。

10.已知函数f(x)=x22x+c有两个实数根，求c的取值范围。

答案：c≤1。

解析：函数f(x)=x22x+c的判别式Δ=b24ac=(2)24×1×c=44c。要使函数有两个实数根，判别式Δ≥0，解得c≤1。

三、解答题（共50分）

11.（本题10分）解方程组：

??

??x+y=5

??2x3y=1

答案：x=2，y=3。

解析：将第一个方程x+y=5变形为y=5x，代入第二个方程2x3y=1，得到2x3(5x)=1。解得x=2，再将x=2代入第一个方程，得到y=3。

12.（本题15分）计算定积分：

??

??∫(从0到π)sin(x)dx

答案：2。

解析：∫sin(x)dx=cos(x)+C。计算定积分∫(从0到π)sin(x)dx，得到[cos(π)+cos(0)]=(11)=2。

13.（本题15分）证明不等式：对于任意的正数a和b，有(a+b)2≥4ab。

答案：证明过程如下：

左边=(a+b)2=a2+2ab+b2

右边=4ab

由算术平均数几何平均数不等式，有(a+b)/2≥√(ab)，两边平方得到(a+b)2≥4ab。故原不等式成立。

14.（本题10分）已知函数f(x)=x33x2+x+1，求f(x)的单调递增区间。

答案：单调递增区间为(∞,1]和[2,+∞)。

解析：求导f(x)=3x26x+1。令f(x)0，解得x1或x2。因此，f(x)在(∞,1]和[2,+∞)上单调递增。