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2025年专升本湖南省高等数学考试练习题及参考答案

一、选择题（每小题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x^2+2x+1，则f(x)的单调递增区间是（）

A.(∞,1)

B.(1,+∞)

C.(∞,2)

D.(2,+∞)

答案：D

解析：求导得f(x)=3x^26x+2，令f(x)0，解得x2或x1/3。结合选项，选D。

2.函数y=2x^33x^2+4在x=1处的切线方程是（）

A.y=3x1

B.y=3x+1

C.y=x+3

D.y=x1

答案：A

解析：求导得y=6x^26x，代入x=1，得y(1)=0。又因为y(1)=3，所以切线方程为y3=0，即y=3。

3.设函数y=e^x，则y的n阶导数y^(n)是（）

A.e^x

B.e^xx^n

C.e^xn!

D.e^xx^nn!

答案：C

解析：y^(n)=e^x，因为e^x的导数仍然是e^x，所以n阶导数仍然是e^x。

4.已知lim(x0)(1cosx)/x^2=1，则a的值是（）

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：C

解析：利用等价无穷小，当x0时，1cosx~x^2/2，所以lim(x0)(1cosx)/x^2=lim(x0)x^2/(2x^2)=1/2。又因为lim(x0)(1cosx)/x^2=1，所以a=2。

5.设函数f(x)=sinx+cosx，则f(x)在区间[0,2π]内的最大值是（）

A.1

B.√2

C.2

D.2√2

答案：B

解析：f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)，因为sin函数的最大值为1，所以f(x)的最大值为√2。

二、填空题（每小题5分，共25分）

6.函数f(x)=x^24x+3在x=2处的极值是______。

答案：1

解析：f(x)=2x4，f(x)=2。因为f(2)0，所以f(x)在x=2处取得极小值，f(2)=2^242+3=1。

7.函数y=x^36x^2+9x+1在x=1处的二阶导数是______。

答案：6

解析：y=3x^212x+9，y=6x12，代入x=1，得y(1)=6。

8.设函数f(x)=(x^21)^3，求f(x)的n阶导数f^(n)(x)。

答案：f^(n)(x)=2n(x^21)^(n1)(2x)^(n2)

解析：利用莱布尼茨公式，f^(n)(x)=∑(i=0ton)C(n,i)(2x)^(ni)(x^21)^i，取i=2，得f^(n)(x)=2n(x^21)^(n1)(2x)^(n2)。

9.已知lim(x0)(sinxx)/x^3=a，求a的值。

答案：1/6

解析：利用泰勒展开，sinx=xx^3/6+o(x^3)，代入得lim(x0)((xx^3/6x)/x^3)=lim(x0)(x^3/6)/x^3=1/6。

10.设函数f(x)=e^xsinx，求f(x)的n阶导数f^(n)(x)。

答案：f^(n)(x)=e^x(sinx+cosx)(e^x)^n

解析：利用莱布尼茨公式，f^(n)(x)=∑(i=0ton)C(n,i)(e^x)^i(sinx)^(ni)(cosx)^i，取i=1，得f^(n)(x)=e^x(sinx+cosx)(e^x)^n。

三、解答题（共50分）

11.（本题10分）求函数f(x)=x^33x^2+4在区间[0,3]内的最大值和最小值。

解答：求导得f(x)=3x^26x，令f(x)=0，解得x=0或x=2。比较f(0),f(2)和f(3)，得f(0)=4，f(2)=0，f(3)=2。所以f(x)在区间[0,3]内的最大值为4，最小值为0。

12.（本题15分）已知函数f(x)=x^2e^x，求f(x)的n阶导数f^(n)(x)。

解答：f(x)=2xe^x+x^2e^x，f(x)=2e^x+4xe^x+x^2e^x。观察规律，