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奥赛几何试题及答案
一、单选题(每题2分,共20分)
1.在△ABC中,∠A=40°,∠B=60°,则△ABC是()(2分)
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定
【答案】A
【解析】由于△ABC三个内角之和为180°,∠C=180°-40°-60°=80°,所有角均小于90°,故为锐角三角形。
2.下列命题中,正确的是()(2分)
A.对角线互相平分的四边形是矩形
B.平行四边形的对角线相等
C.菱形的对角线互相垂直
D.等腰梯形的对角线相等
【答案】A
【解析】对角线互相平分是矩形的判定条件之一,故A正确。平行四边形的对角线不一定相等,B错误;菱形的对角线互相垂直是性质,非判定,C错误;等腰梯形的对角线相等是性质,非判定,D错误。
3.在直角坐标系中,点P(-3,4)关于原点对称的点的坐标是()(2分)
A.(-3,-4)B.(3,-4)C.(3,4)D.(-3,4)
【答案】C
【解析】关于原点对称的点的坐标为原坐标的符号均取反,故(-3,4)对称点为(3,4)。
4.已知点A(1,2),点B(3,0),则线段AB的长度是()(2分)
A.√2B.2√2C.√5D.2√5
【答案】C
【解析】根据两点间距离公式,AB=√[(3-1)2+(0-2)2]=√[22+(-2)2]=√8=√5。
5.在圆中,弧AB所对的圆心角为60°,则弧AB所对的圆周角为()(2分)
A.30°B.60°C.90°D.120°
【答案】A
【解析】圆周角定理指出,圆周角等于所对圆心角的一半,故60°的圆心角所对圆周角为30°。
6.一个正六边形的内角和为()(2分)
A.360°B.420°C.480°D.540°
【答案】D
【解析】正六边形有6个边,内角和=(6-2)×180°=4×180°=540°。
7.在等腰三角形中,底边上的高与底边的比值为()(2分)
A.1:2B.1:√2C.1:√3D.1:1
【答案】D
【解析】等腰三角形底边上的高也是底边的中线,故底边上的高与底边的比值为1:1。
8.圆的半径为5,则圆的面积为()(2分)
A.10πB.20πC.25πD.50π
【答案】C
【解析】圆面积公式为S=πr2,故S=π×52=25π。
9.在直角三角形中,如果一条直角边的长度为3,斜边的长度为5,则另一条直角边的长度为()(2分)
A.2B.4C.6D.7
【答案】B
【解析】根据勾股定理a2+b2=c2,32+b2=52,9+b2=25,b2=16,b=4。
10.已知四边形ABCD中,∠A=90°,∠B=∠C=∠D,则四边形ABCD是()(2分)
A.矩形B.正方形C.菱形D.平行四边形
【答案】B
【解析】四个角都是90°的四边形是矩形,又∠B=∠C=∠D,说明四边形ABCD各边相等,故为正方形。
二、多选题(每题4分,共20分)
1.以下命题中,正确的有()(4分)
A.矩形的对角线相等B.菱形的对角线互相垂直平分
C.正方形的对角线相等且互相垂直D.等腰梯形的对角线相等
【答案】A、B、C
【解析】矩形的对角线相等,A正确;菱形的对角线互相垂直平分,B正确;正方形的对角线相等且互相垂直,C正确;等腰梯形的对角线相等是性质,非判定,D错误。
2.以下图形中,是中心对称图形的有()(4分)
A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰三角形
【答案】A、B、C
【解析】矩形、菱形、正方形的对角线相交于一点且互相平分,故是中心对称图形;等腰三角形不是中心对称图形。
3.在圆中,以下说法正确的有()(4分)
A.直径是弦B.弦是直径
C.直径是过圆心的弦D.半径等于弦的一半
【答案】A、C
【解析】直径是过圆心的弦,A正确;弦不一定是直径,B错误;直径是过圆心的弦,C正确;半径不一定等于弦的一半,D错误。
4.以下四边形中,对角线互相垂直的有()(4分)
A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰梯形
【答案】B、C
【解析】菱形和正方形的对角线互相垂直,矩形和等腰梯形的对角线不一定互相垂直。
5.以下命题中,正确的有()(4分)
A.三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和
B.三角形的一个外角大于任何一个内角
C.三角形的一个外角等于它相邻的内角之和
D.三角形的一个外角小于它相邻的内角
【答案】A
【解析】三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和,A正确;三角形的一个外角可以大于或小于任何一个内角,B、D错误;三角形的一个外角大于它相邻的内角,C错误。
三、填空题(每题4分,共32分)
1.在△ABC中,∠A=50°,∠B=70°,则∠C=______。(4分)
【答案】60°
【解析】三角形内角和为180°,∠C=180°-50°-70°=60°。
2.正五边形的每个内角大小为______。(4分)
【答案】10
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