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高考专题训练七空间向量与立体几何
班级_______________时间：45分钟分值：75分总得分________
一、选择题：本大题共6小题，每题5分，共30分．在每题给出的四个选项中，
选出切合题目要求的一项填在答题卡上．
ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1
→→
1．在正方体
和BB1的中点，则sin〈CM，D1N〉的
值为(
)
1
4
A.9
B.9
5
2
2
C.9
5
D.3
分析：以D为原点，DA、DC、DD分别为x轴、y轴、z轴建系，设正方体棱长为
1，则
1
C(0,1,0)
，M
1，0，1
(0,0,1)，N
1，1，
1
→
1，－1，
1
→
1，1，－
1
1
1
2
，D
2，∴CM＝
2，DN＝
2，
1
→→
－
∴cos〈
〉＝
4
＝－1，
CMDN
3
9
3
2×2
→→45
sin〈CM，D1N〉＝9.应选B.
答案：B
2．(2011·全国)已知直二面角
α
－
l
－
β
，点
∈
α
，
⊥
，
C
为垂足，∈
β
，
⊥
A
ACl
B
BD
l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于(
)
2
3
A.
3
B.3
6
C.3
D．1
→2
→
→
→
2
分析：由AB＝(AC＋CD＋DB)
→
2
→2
→2
→→→→→→
＝AC＋CD＋DB＋2AC·CD＋2AC·DB＋2CD·DB
→
2＋1，所以|CD|＝2.
＝1＋|CD|
过
D
作
⊥
于
，则
⊥面
，
即为
到平面
的距离．在Rt△
中，
2
DE
BC
E
DE
ABCDED
ABC
BCD
BC
＝
2＋
2＝3，∴＝3.
·＝·，∴＝6.
BD
CD
BC
DEBCBDCD
DE
3
答案：C
3．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D、E、F分别是棱AB、BC、CP
的中点，
AB＝AC＝1，PA＝2，则直线
PA与平面
DEF所成角的正弦值为
(
)
1
2
A.
B.
5
5
5
25
C.5
D.
5
分析：以A为原点，AB、AC、AP所在直线分别为
x轴、y轴、z轴成立以下图空间直
角坐标系，由AB＝AC＝1，PA＝2，得A(0,0,0)
，B(1,0,0)
，C(0,1,0)
，P(0,0,2)
，D
1
，0，0
，
2
11
2，2，0，
1
0，2，1，
→
→
1
→
1
1
，设面DEF的法向量为n＝(x，y，
∴AP＝(0,0,2)
，DE＝0，，0
，DF＝－
，，1
2
2
2
→
y＝0，
z
n·DE＝0，
z
＝1，则
n
＝(2,0,1)，设
)，则由
得
取
与平面
所成
→
x＝2z，
PA
DEF
n·DF＝0
→
5
5
|PA·n|
角为θ，则sinθ＝→
＝5，∴PA与平面DEF所成角为arcsin
5
，应选C.
|PA||n|
答案：C
4．以下图，AC1是正方体的一条体对角线，点
P、Q分别为其所在棱的中点，则
PQ与
1
所成的角为(
)
AC
π
π
A.
6
B.
4
π
π
C.
3
D.
2
分析：如图，设底面中心为
O，在对角面
ADC1B1中，取
AB1的中点为
T，TD∥PQ，进而
TD与
AC1所成的角为所求．由相像可得∠
AMD＝π，应选
2
D.
答案：D
5．以下列图所示，在棱长为
a
的正方体
－1111中，
M
是
1的中点，则点
A
到平
ABCDABCD
AA
面MBD的距离是( )
6
3
A.3
a
B.6
a
3
6
C.4
a
D.6
a
分析：A到面MBD的距离由等积变形可得．
VA－MBD＝VB－AMD.易求d＝66a.
答案：D
6．已知平面α与β所成的二面角为
80°，P为α，β外必定点，过点P的一条直线
与α，β所成的角都是
30°，则这样的直线有且仅有
( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
分析：如右图，过
P
作
α
、
β
的垂线
、
，其确立的平面与棱
l
交于，过
P
的直
PC
PD
Q
线与α、β分别交于A、B两点，若二面角为80°，AB与平面α、β成30°，则∠CPD＝
100°，AB与PD、PC成60°，所以问题转变为过
P点与直线PD、PC所成角为60°的直线
100°
60°，
80°
60°，∴这样的直线有
4条．
有几条．∵
2
2
答案：D
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在答题卡上．
7．(2011·全国)已知点E、F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于________．
分析：
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