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2025必威体育精装版成人高考数学立体几何专项训练

立体几何是成人高考数学（尤其是理工农医类）的重要考点，主要考查空间几何体的结构特征、表面积与体积计算、空间点线面的位置关系（平行、垂直）及空间向量在立体几何中的应用（部分省份涉及）。以下为专项训练内容，涵盖核心知识点、经典题型及解题技巧，助考生高效突破。

一、核心知识点回顾（必记公式与定理）

（一）空间几何体的结构与度量

1.多面体

棱柱：两底面平行且全等，侧面是平行四边形；侧棱平行且相等。

棱锥：底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形；顶点在底面的射影若为底面中心，则为正棱锥（如正四面体是特殊的正三棱锥）。

棱台：用平行于棱锥底面的平面截棱锥所得，上下底面平行且相似，侧面是梯形。

2.旋转体

圆柱：以矩形的一边为轴旋转而成，轴线称为高，垂直于轴的边旋转形成底面圆。

圆锥：以直角三角形的一条直角边为轴旋转而成，轴线为高，另一条直角边旋转形成底面圆。

圆台：用平行于圆锥底面的平面截圆锥所得，上下底面平行（均为圆）。

球：以半圆的直径为轴旋转而成，所有点到球心的距离等于半径R。

3.表面积与体积公式（必背！）

几何体

表面积公式

体积公式

棱柱（直）

S表

V=

棱锥

S表

V

棱台

S表

V

圆柱

S表=2π

V

圆锥

S表=π

V

圆台

S表=π(r

V

球

S

V

（二）空间点、线、面的位置关系

1.平面的基本性质（公理）

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（判定直线在平面内的依据）。

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面（确定平面的依据）。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（判定两平面相交的依据）。

推论：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；经过两条相交直线，有且只有一个平面；经过两条平行直线，有且只有一个平面。

2.空间中直线与直线的位置关系

共面直线：相交（有且只有一个公共点）、平行（在同一平面内，无公共点）。

异面直线：不同在任何一个平面内，既不相交也不平行。

判定方法：过平面外一点与平面内一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线。

夹角：已知两条异面直线a,b，经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b，则

3.直线与平面的位置关系

直线在平面内、直线与平面相交（有且只有一个公共点）、直线与平面平行（无公共点）。

线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行（a?α,b?α,a∥b?a∥α）。

4.平面与平面的位置关系

平行（无公共点）、相交（有一条公共直线）。

面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行（a?β,b?β,a∩b=P,a∥α

二、经典题型与解题技巧（专项训练）

类型1：空间几何体的表面积与体积计算

核心：准确识别几何体类型，利用对应公式计算（注意“展开图”辅助求侧面积）。

例题1（棱锥体积）：已知一个正四棱锥的底面边长为4，高为3，求该棱锥的体积。

解析：正四棱锥的底面是正方形，S底=4×4=16

例题2（圆柱表面积）：圆柱的底面半径为2，母线长（高）为5，求其表面积。

解析：表面积S=

技巧：①棱锥/棱台需先求底面积（如三角形、梯形等）；②圆柱/圆锥的“母线长”可能是高（直棱柱/直圆锥时），需根据题目明确；③圆台的表面积注意上下底半径和母线长的关系（l=

类型2：空间点、线、面的位置关系证明

核心：熟记判定定理与性质定理，通过构造平行或垂直关系解题（常用“中位线”“平行四边形”“线面垂直”等辅助线）。

例题3（线面平行）：在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为DD1的中点，求证：AC∥平面A1BE。

解析：连接BD交AC于O，连接OE。因为O是BD中点，E是DD1

例题4（线面垂直）：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，求证：BD⊥平面PAC。

解析：因为PA⊥底面ABCD→PA⊥BD（直线垂直于平面，则垂直于平面内所有直线）。又因为底面ABCD是正方形→AC⊥BD（正方形对角线垂直）。PA与AC交于点A，且PA?平面PAC，AC?平面PAC→根据线面垂直判定定理（一条直线垂直于平面内两条相交直线），BD⊥平面PAC。

技巧：证明线面垂直需找到“平面内两条相交直线均与该直线垂直”；证明面面垂直常先证“线面垂直”（再利用性质定理）。

类型3：空间角与距离计算（重点）

核心：异面直线所成角（平移法）、线面角（找射影）、面面角（二面角的平面角）通常通过几何法或向量法求解（成人高考以几何法为主）。

例题5（异面直线所成角）：在正方体ABCD?A1B1C1D1中，求异面直线A1B与AD1所成的角。

解