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新数学运算定义与练习题集

数学的生命力在于不断的探索与拓展，而运算作为数学的基石，其形式与内涵也并非一成不变。在熟悉了加减乘除这些基本运算之后，我们常常会遇到需要自定义新运算的场景。这类问题不仅能考察我们对运算本质的理解，更能锻炼抽象思维与逻辑推理能力。本文将引入几种新的数学运算定义，并配以相应的练习题，旨在帮助读者更好地掌握此类问题的分析方法与解题技巧。

一、新运算定义与示例解析

在自定义运算中，我们通常会用一些特殊的符号（如※、△、◎、★等）来表示一种全新的运算规则。解答此类问题的关键在于：严格按照所给的定义进行运算，切勿与已有的四则运算规则混淆。

（一）※运算：平方和加法

定义：对于任意两个实数a、b，规定a※b=a2+b。

示例解析：

1.计算3※2的值。

解：根据定义，3※2=32+2=9+2=11。

2.计算2※3的值，并观察与3※2的结果是否相同，判断※运算是否满足交换律。

解：2※3=22+3=4+3=7。

由于3※2=11，而2※3=7，11≠7，因此※运算不满足交换律。

3.若x※4=20，求x的值。

解：由定义得x2+4=20，即x2=16，解得x=±4。

（二）◎运算：取大组合运算

定义：对于任意两个正整数a、b，规定a◎b=

*a×b，当a≥b时；

*a+b2，当ab时。

示例解析：

1.计算5◎3的值。

解：因为5≥3，所以5◎3=5×3=15。

2.计算2◎5的值。

解：因为25，所以2◎5=2+52=2+25=27。

3.计算(3◎4)◎2的值。

解：先算括号内的3◎4：因为34，所以3◎4=3+42=3+16=19。

再算19◎2：因为19≥2，所以19◎2=19×2=38。

故(3◎4)◎2=38。

（三）Ω变换：数字根运算

定义：对于任意正整数n，n的Ω变换记为Ω(n)，其规则为：

*若n为一位数，则Ω(n)=n；

*若n为两位数或以上，则Ω(n)为n的各位数字之和的Ω变换。

示例解析：

1.计算Ω(7)的值。

解：7是一位数，所以Ω(7)=7。

2.计算Ω(24)的值。

解：24是两位数，各位数字之和为2+4=6，6是一位数，所以Ω(24)=Ω(6)=6。

3.计算Ω(199)的值。

解：199各位数字之和为1+9+9=19，19是两位数，其各位数字之和为1+9=10，10是两位数，其各位数字之和为1+0=1，所以Ω(199)=Ω(19)=Ω(10)=Ω(1)=1。

二、练习题集

第一部分：基础理解与直接计算

1.设a※b=a+2b，计算：

(1)4※5

(2)5※4

(3)(2※3)※1

2.设m△n=(m-n)×2，计算：

(1)8△3

(2)3△8

(3)10△(5△2)

3.对于Ω变换（定义同上），计算：

(1)Ω(36)

(2)Ω(123)

(3)Ω(999)

第二部分：性质探究与辨析

4.对于第1题中定义的※运算（a※b=a+2b），判断它是否满足以下运算律，并说明理由：

(1)交换律（即a※b是否等于b※a）

(2)结合律（即(a※b)※c是否等于a※(b※c)）

5.定义新运算a

b=a2-b2，验证该运算是否满足交换律和结合律。

第三部分：方程与求解

6.已知a※b=3a-b，且x※4=11，求x的值。

7.定义a★b=(a+b)÷2（结果取整数部分），若x★10=6，求x的可能取值范围。

8.设Ω变换如前定义，若Ω(n)=5，且n是两位数，求n的所有可能值。

第四部分：综合应用与拓展

9.对于任意正整数a、b，定义a□b=a的各位数字之和×b的各位数字之和。

(1)计算23□45

(2)若a=12，b=Ω(67)（Ω变换定义同上），求a□b

10.某商店为了促销，规定了一种“购物优惠运算”：若购物金额为x元，当x≤100时，实际支付x元；当x100时，实际支付100+(x-100)×0.8元。我们可以将实际支付金额记为f(x)。

(1)小明购物花了85元，他实际支付多少？

(2)小红购物实际支付了150元，她的购物金额x是多少？

(3)请用一个数学符号（如你喜欢的