第八章二重积分.pptVIP

当被积函数均非负在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.由于第29页，共64页，星期日，2025年，2月5日说明:(1)若积分区域既是X-型区域又是Y-型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则第30页，共64页，星期日，2025年，2月5日例1.计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭区域.解法1.将D看作X-型区域,则解法2.将D看作Y-型区域,则第31页，共64页，星期日，2025年，2月5日例2.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线则第32页，共64页，星期日，2025年，2月5日例3.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:由被积函数可知,因此取D为X-型域:先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.第33页，共64页，星期日，2025年，2月5日例4.交换下列积分顺序解:积分域由两部分组成:视为Y-型区域,则第34页，共64页，星期日，2025年，2月5日例5.计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,第35页，共64页，星期日，2025年，2月5日2、利用极坐标计算二重积分对应有在极坐标系下,用同心圆r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线?=常数,分划区域D为第36页，共64页，星期日，2025年，2月5日即第37页，共64页，星期日，2025年，2月5日设则(1)极点O在积分区域D之外第38页，共64页，星期日，2025年，2月5日(2)极点O在积分区域D之内第39页，共64页，星期日，2025年，2月5日此时若f≡1则可求得D的面积思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试答:问?的变化范围是什么?(1)(2)第40页，共64页，星期日，2025年，2月5日若区域特征如图第41页，共64页，星期日，2025年，2月5日解第42页，共64页，星期日，2025年，2月5日解第43页，共64页，星期日，2025年，2月5日例3求由球面x2+y2+z2=4a2与柱面x2+y2=2ay所围立体的体积。解：计算第一挂限部分体积xyoxyz第44页，共64页，星期日，2025年，2月5日解∵D=2D1第45页，共64页，星期日，2025年，2月5日第1页，共64页，星期日，2025年，2月5日一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分重积分第2页，共64页，星期日，2025年，2月5日第一节二重积分三、二重积分的性质一、引例二、二重积分的定义与可积性四、曲顶柱体体积的计算五、二重积分的计算第3页，共64页，星期日，2025年，2月5日解法:类似定积分解决问题的思想:一、引例1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：xOy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”第4页，共64页，星期日，2025年，2月5日1)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体第5页，共64页，星期日，2025年，2月5日4)“取极限”令第6页，共64页，星期日，2025年，2月5日2.平面薄片的质量有一个平面薄片,在xOy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为?,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小块.第7页，共64页，星期日，2025年，2月5日2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第k小块的质量第8页，共64页，星期日，2025年，2月5日两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:第9页，共64页，星期日，2025年，2月5日二、二重积分的定义及可积性定义:将区域D任意分成n