圆的标准方程(导学案)(原卷版)-2024-2025学年高二上学期数学同步备课-(人教A版2019.docxVIP

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2.4.1圆的标准方程

导学案

地位：

本节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）

第二章直线和圆的方程

2.4圆的方程

学习目标：

1.会用定义推导圆的标准方程,并掌握圆的标准方程的特征，培养数学抽象的核心素养.

2.能根据所给条件求圆的标准方程，培养数学运算的核心素养.

3.掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题，提升逻辑推理的核心素养.

学习重难点：

重点：会用定义推导圆的标准方程，掌握点与圆的位置关系

难点：根据所给条件求圆的标准方程

自主预习：

本节所处教材的第页.

复习——

圆的定义：

3.预习——

圆的标准方程：

点与圆的位置关系：

新课导学

学习探究

（一）新知导入

《古朗月行》

唐李白

小时不识月，呼作白玉盘。

又疑瑶台镜，飞在青云端。

月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学作品中也大量描写、如果把天空看作一个平面,月亮当做一个圆，建立一个平面直角坐标系,那么圆的坐标方程如何表示?

（二）圆的标准方程

知识点1圆的标准方程

【思考1】圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？

【思考2】已知圆心为A(a,b),半径为你能推导出圆的方程吗？

◆(1)圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合，定点称为圆的圆心，定长称为圆的半径．用集合表示为P＝{M||MA|＝r}．

(2)圆的标准方程：

①圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

②圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.

【做一做1】(教材P85练习1改编)以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是()

A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4

C．(x－2)2＋(y－2)2＝8D．x2＋y2＝eq\r(2)

【做一做2】圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝3的圆心坐标是()

A．(2,1) B．(2，－1)

C．(－2,1) D．(－2，－1)

知识点2点与圆的位置关系

【思考3】1．点A(1,1)，B(3,0)，C(eq\r(2)，eq\r(2))与圆x2＋y2＝4的关系如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|与圆的半径r＝2什么关系？

2．点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系如何判断？

◆点与圆的位置关系

圆A：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，其圆心为A(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PA|.

位置关系

几何法

图示

代数法

点在圆外

d＞r

(x0－a)2＋(y0－b)2r2

点在圆上

d＝r

(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2

点在圆内

d＜r

(x0－a)2＋(y0－b)2r2

【做一做1】点P(－2，－2)和圆x2＋y2＝4的位置关系是()

A．在圆上 B．在圆外

C．在圆内 D．以上都不对

【做一做2】(教材P83例1改编)已知两点P(－5,6)和Q(5，－4)，求以P，Q为直径端点的圆的标准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外．

（三）典型例题

1.求圆的标准方程

例1.求满足下列条件的圆的标准方程．

(1)圆心为(3,4)且经过坐标原点；

(2)经过A(3,1)，B(－1,3)且圆心在直线3x－y－2＝0上．

【类题通法】圆的标准方程的两种求法

(1)几何法：它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程.

(2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:

①设——设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;

②列——由已知条件,建立关于a,b,r的方程组;

③解——解方程组,求出a,b,r;

④代——将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程.

【巩固练习1】△ABC的三个顶点的坐标是A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8).求它的外接圆的方程．

2.点与圆的位置关系的应用

例2.已知A(－1,4)，B(5，－4)．求以AB为直径的圆的标准方程