抽象代数的考试题及答案.docVIP

抽象代数的考试题及答案

一、单项选择题，(总共10题，每题2分)。

1.设G是一个群，a,b∈G，则(ab)^-1等于（）。

A.ab

B.ba^-1

C.b^-1a^-1

D.a^-1b^-1

答案：C

2.下列哪个集合和运算构成一个群？（）。

A.整数集Z，加法

B.非零实数集R\{0}，乘法

C.平面上的所有向量，加法

D.正实数集R^+，乘法

答案：D

3.在群G中，如果存在一个元素a使得G中每个元素都可以表示为a的幂，则称G为循环群，下列哪个群是循环群？（）。

A.2×2非奇异实矩阵的集合，矩阵乘法

B.整数集Z，加法

C.复数单位根的集合，乘法

D.3阶非零实数解的集合，乘法

答案：B

4.有限群G的阶（即元素个数）是n，如果存在一个正整数m使得G中每个元素都满足a^m=e（e为单位元），则称m是G的一个阶，下列哪个是正确的？（）。

A.m一定是n的因子

B.m不一定是n的因子

C.m可以是任意正整数

D.m只可能是1

答案：A

5.两个群的直积G×H的元素是G和H的有序对，运算定义为（a,b）(c,d)=(ac,bd)，如果G和H都是交换群，则G×H也是交换群，这个说法是否正确？（）。

A.正确

B.错误

答案：A

6.陪集划分是一个群G的左陪集的集合构成一个划分，这个说法是否正确？（）。

A.正确

B.错误

答案：A

7.在群G中，如果存在一个元素a使得G中每个元素都可以表示为a的幂，则称G为循环群，循环群一定是由一个生成元生成的，这个说法是否正确？（）。

A.正确

B.错误

答案：A

8.有限群G的阶是n，如果n是偶数，则G中至少有一个元素a满足a^2=e且a≠e，这个说法是否正确？（）。

A.正确

B.错误

答案：A

9.两个群的直积G×H的元素是G和H的有序对，运算定义为（a,b）(c,d)=(ac,bd)，如果G和H都是交换群，则G×H也是交换群，这个说法是否正确？（）。

A.正确

B.错误

答案：A

10.陪集划分是一个群G的左陪集的集合构成一个划分，这个说法是否正确？（）。

A.正确

B.错误

答案：A

二、多项选择题，(总共10题，每题2分)。

1.下列哪些是群的性质？（）。

A.封闭性

B.结合律

C.单位元存在

D.逆元存在

E.交换律

答案：A,B,C,D

2.循环群可以是以下哪些形式？（）。

A.整数加法群Z

B.复数单位根的乘法群

C.2×2非奇异实矩阵的乘法群

D.平面上的所有向量加法群

E.正实数乘法群R^+

答案：A,B,E

3.陪集的性质包括哪些？（）。

A.每个陪集都与群G同构

B.群G的左陪集和右陪集可能不同

C.陪集的交集为空或整个群

D.陪集的并集构成群G的划分

E.陪集的个数等于群的阶除以子群的阶

答案：B,C,D,E

4.下列哪些是交换群的例子？（）。

A.整数加法群Z

B.复数单位根的乘法群

C.2×2非奇异实矩阵的乘法群

D.平面上的所有向量加法群

E.正实数乘法群R^+

答案：A,B,D,E

5.群的直积的性质包括哪些？（）。

A.直积的阶等于两个群的阶的乘积

B.直积的单位元是两个群单位元的有序对

C.直积的逆元是两个群逆元的有序对

D.如果两个群是交换群，则直积也是交换群

E.直积的子群可以看作是两个群子群的直积

答案：A,B,C,D

6.陪集划分的性质包括哪些？（）。

A.每个陪集都与群G同构

B.群G的左陪集和右陪集可能不同

C.陪集的交集为空或整个群

D.陪集的并集构成群G的划分

E.陪集的个数等于群的阶除以子群的阶

答案：B,C,D,E

7.循环群的性质包括哪些？（）。

A.循环群一定是由一个生成元生成的

B.循环群的子群也是循环群

C.循环群的陪集划分是等比数列

D.循环群的阶一定是素数

E.循环群的单位元是唯一的

答案：A,B,E

8.群的直积的例子包括哪些？（）。

A.整数加法群Z和复数乘法群C的直积

B.2×2非奇异实矩阵的乘法群和整数加法群Z的直积

C.平面上的所有向量加法群和正实数乘法群R^+的直积

D.复数单位根的乘法群和整数加法群Z的直积

E.整数加法群Z和2×2非奇异实矩阵的乘法群的直积

答案：A,C,D

9.陪集的性质包括哪些？（）。

A.每个陪集都与群G同构

B.群G的左陪集