寒假作业13 全等三角形的基本模型（14道经典题型+4道中考真题）（解析版）-【寒假分层作业】2024年八年级数学寒假培优练（人教版）.docxVIP

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寒假作业13全等三角形的基本模型

全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本课时就全等三角形中的六类基本模型（倍长中线模型、截长补短模型、一线三等角（K字）模型、手拉手（旋转）模型、半角模型、对角互补模型）进行专项训练，方便同学们熟练掌握.

1．如图，在中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（）

A．3 B．2 C． D．

【答案】A

【解析】∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C，

∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，

∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂线交BC于点D，∴AD＝ED，

在△ABD与△DCE中，，

∴△ABD≌△DCE（AAS），∴CD＝AB＝9，BD＝CE，

∵CD＝3BD，∴CE＝BD＝3.故选A．

2．如图，在中，，，将绕点A顺时针方向旋转60°到的位置，连接，则的度数为（????）

A．15° B．20° C．30° D．45°

【答案】C

【解析】如图所示，连接，

由题意得：，，∴为等边三角形，∴，.

在与中，，∴≌（SSS），

∴，故选C．

3．如图，在中，，，D，E是斜边上的两点，且，若，，，则与的面积之和为（????）

A．36 B．21 C．30 D．22

【答案】B

【解析】如图，将关于AE对称得到，

则，，

，

，，

在和中，，，

，

，即是直角三角形，，

，

即与的面积之和为21，故选B．

4．如图，中，点为的中点，，，，则的面积是______．

【答案】30

【解析】如图，延长至，使，连接CE，∴，

在和中，，∴，∴，

∵，，∴，∴，

．故答案为：30

5．如图，与有一条公共边AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，则∠BAD=________．（用含有x的代数式表示）

【答案】180°-2x

【解析】在CD上截取CE=CB，如图所示，

在△ABC和△AEC中，，∴△ABC≌△AEC(SAS)，∴AE=AB，∠B=∠AEC，

∵AB=AD，∴AD=AE，∴∠D=∠AED，

∵∠AED+∠AEC=180°，∴∠D+∠B=180°，

∵∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°，

∴∠DAB+∠BCD=360°-∠ABC-∠CDA=360°-180°=180°，

∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=x+x=2x，∴∠DAB=180°-∠BCD=180°-2x，故答案为：180°-2x.

6．如图，在中，，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，垂足分别为D，E．若，求DE的长．

【解析】在中，，∴，

∵，∴，∴，∴，

又∵，∴，

∴，∴．

7．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，把∠EDF绕点D旋转，使∠EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F．

（1）当DF⊥AC时，求证：BE=CF；

（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

【解析】（1）∵△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，

∴∠B=∠C=60°，BD=CD，∵DF⊥AC，∴∠DFA=90°，

∵∠A+∠EDF+∠AFD+∠AED=180°，∴∠AED=90°，

∴∠DEB=∠DFC，且∠B=∠C=60°，BD=DC，∴△BDE≌△CDF（AAS），故BE=CF.

（2）如图，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，

则有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°．

∵∠A=60°，∴∠MDN=360°-60°-90°-90°=120°．

∵∠EDF=120°，∴∠MDE=∠NDF．

在△MBD和△NCD中，，∴△MBD≌△NCD（AAS），∴BM=CN，DM=DN．

在△EMD和△FND中，，∴△EMD≌△FND（ASA），∴EM=FN，

∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=BD=BC=2，为定值.

8．如图，点为等边外一点，，，点，分别在和上，且，，，则的边长为______．

【答案】

【解析】∵为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，??

∵∠BDC=120°，BD=CD，∴∠DBC=∠DCB=×（180°-120°）=30°，∴∠DBM=∠DCN=90°，

如图，延长AC至H，使CH=BM，连接DH，

∴∠DCH=90°，∴∠DBM=∠DCH，

在△DBM和△DCH中，，∴△DBM≌△DCH（SAS），∴DM=DH，∠BDM=∠CDH，

∵∠BDM+∠CDN=6